Страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

62 а) $ \frac{5x}{x - y} + 5; $

б) $ 1 + \frac{a}{b - a}; $

в) $ 7 - \frac{7x}{x + y}; $

г) $ \frac{2c^2}{c - 8} - 2c; $

д) $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a; $

е) $ 2m - \frac{mn - 1}{n}; $

ж) $ 4x - \frac{10x^2 - 2}{3x}; $

з) $ 2 + \frac{1 - ab}{ab}; $

и) $ \frac{3a + 1}{2a + 1} - 1. $

а) Чтобы представить сумму в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $x-y$. Для этого представим число $5$ как дробь со знаменателем $x-y$.

$\frac{5x}{x-y} + 5 = \frac{5x}{x-y} + \frac{5(x-y)}{x-y} = \frac{5x + 5(x-y)}{x-y} = \frac{5x + 5x - 5y}{x-y} = \frac{10x-5y}{x-y}$.

Ответ: $\frac{10x-5y}{x-y}$.

б) Чтобы представить сумму в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $b-a$. Представим $1$ как дробь со знаменателем $b-a$.

$1 + \frac{a}{b-a} = \frac{b-a}{b-a} + \frac{a}{b-a} = \frac{b-a+a}{b-a} = \frac{b}{b-a}$.

Ответ: $\frac{b}{b-a}$.

в) Чтобы представить разность в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $x+y$. Представим $7$ как дробь со знаменателем $x+y$.

$7 - \frac{7x}{x+y} = \frac{7(x+y)}{x+y} - \frac{7x}{x+y} = \frac{7x+7y-7x}{x+y} = \frac{7y}{x+y}$.

Ответ: $\frac{7y}{x+y}$.

г) Чтобы представить разность в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $c-8$. Представим $2c$ как дробь со знаменателем $c-8$.

$\frac{2c^2}{c-8} - 2c = \frac{2c^2}{c-8} - \frac{2c(c-8)}{c-8} = \frac{2c^2 - (2c^2 - 16c)}{c-8} = \frac{2c^2 - 2c^2 + 16c}{c-8} = \frac{16c}{c-8}$.

Ответ: $\frac{16c}{c-8}$.

д) Чтобы представить разность в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $3a-2$. Представим $5a$ как дробь со знаменателем $3a-2$.

$\frac{15a^2}{3a-2} - 5a = \frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a(3a-2)}{3a-2} = \frac{15a^2 - (15a^2 - 10a)}{3a-2} = \frac{15a^2 - 15a^2 + 10a}{3a-2} = \frac{10a}{3a-2}$.

Ответ: $\frac{10a}{3a-2}$.

е) Чтобы представить разность в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $n$. Представим $2m$ как дробь со знаменателем $n$.

$2m - \frac{mn-1}{n} = \frac{2m \cdot n}{n} - \frac{mn-1}{n} = \frac{2mn - (mn-1)}{n} = \frac{2mn - mn + 1}{n} = \frac{mn+1}{n}$.

Ответ: $\frac{mn+1}{n}$.

ж) Чтобы представить разность в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $3x$. Представим $4x$ как дробь со знаменателем $3x$.

$4x - \frac{10x^2-2}{3x} = \frac{4x \cdot 3x}{3x} - \frac{10x^2-2}{3x} = \frac{12x^2 - (10x^2-2)}{3x} = \frac{12x^2 - 10x^2 + 2}{3x} = \frac{2x^2+2}{3x}$.

Ответ: $\frac{2x^2+2}{3x}$.

з) Чтобы представить сумму в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $ab$. Представим $2$ как дробь со знаменателем $ab$.

$2 + \frac{1-ab}{ab} = \frac{2ab}{ab} + \frac{1-ab}{ab} = \frac{2ab + 1 - ab}{ab} = \frac{ab+1}{ab}$.

Ответ: $\frac{ab+1}{ab}$.

и) Чтобы представить разность в виде дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $2a+1$. Представим $1$ как дробь со знаменателем $2a+1$.

$\frac{3a+1}{2a+1} - 1 = \frac{3a+1}{2a+1} - \frac{2a+1}{2a+1} = \frac{(3a+1) - (2a+1)}{2a+1} = \frac{3a+1-2a-1}{2a+1} = \frac{a}{2a+1}$.

Ответ: $\frac{a}{2a+1}$.

63 Упростите выражение:

а) $\frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} - \frac{2x^2}{1-x^2}$

б) $\frac{1}{a+b} - \frac{2b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a-b}$

В) $\frac{y-6}{y^2+3y} - \frac{y-3}{y} + \frac{y}{y+3}$

Г) $\frac{a(4a-b)}{3a-3b} - \frac{a}{3} - \frac{b^2}{a-b}$

а) $ \frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} - \frac{2x^2}{1-x^2} $

Для упрощения этого выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Знаменатель третьей дроби, $1-x^2$, является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $1-x^2 = (1-x)(1+x)$. Этот знаменатель и будет общим для всех дробей.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1+x}{1-x}$ — это $(1+x)$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1-x}{1+x}$ — это $(1-x)$.

Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия в числителе:

$ \frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)} + \frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)} - \frac{2x^2}{1-x^2} = \frac{(1+x)^2 + (1-x)^2 - 2x^2}{1-x^2} $

Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):

$ \frac{(1+2x+x^2) + (1-2x+x^2) - 2x^2}{1-x^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{1+2x+x^2+1-2x+x^2-2x^2}{1-x^2} = \frac{(1+1) + (2x-2x) + (x^2+x^2-2x^2)}{1-x^2} = \frac{2+0+0}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2} $

Ответ: $ \frac{2}{1-x^2} $

б) $ \frac{1}{a+b} - \frac{2b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a-b} $

Сначала найдем общий знаменатель. Знаменатель средней дроби $a^2-b^2$ раскладывается на множители как $(a-b)(a+b)$. Это и будет общий знаменатель.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{a+b}$ — это $(a-b)$.

Дополнительный множитель для третьей дроби $\frac{1}{a-b}$ — это $(a+b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$ \frac{1(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{2b}{(a-b)(a+b)} + \frac{1(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b) - 2b + (a+b)}{a^2-b^2} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{a-b-2b+a+b}{a^2-b^2} = \frac{(a+a) + (-b-2b+b)}{a^2-b^2} = \frac{2a-2b}{a^2-b^2} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе и разложим знаменатель на множители:

$ \frac{2(a-b)}{(a-b)(a+b)} $

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:

$ \frac{2}{a+b} $

Ответ: $ \frac{2}{a+b} $

в) $ \frac{y-6}{y^2+3y} - \frac{y-3}{y} + \frac{y}{y+3} $

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $y^2+3y = y(y+3)$. Таким образом, общий знаменатель для всех дробей — это $y(y+3)$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{y-3}{y}$ — это $(y+3)$.

Дополнительный множитель для третьей дроби $\frac{y}{y+3}$ — это $y$.

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$ \frac{y-6}{y(y+3)} - \frac{(y-3)(y+3)}{y(y+3)} + \frac{y \cdot y}{y(y+3)} = \frac{(y-6) - (y-3)(y+3) + y^2}{y(y+3)} $

В числителе применим формулу разности квадратов для выражения $(y-3)(y+3)=y^2-9$:

$ \frac{y-6 - (y^2-9) + y^2}{y(y+3)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{y-6-y^2+9+y^2}{y(y+3)} = \frac{(-y^2+y^2) + y + (-6+9)}{y(y+3)} = \frac{y+3}{y(y+3)} $

Сократим дробь на общий множитель $(y+3)$:

$ \frac{1}{y} $

Ответ: $ \frac{1}{y} $

г) $ \frac{a(4a-b)}{3a-3b} - \frac{a}{3} - \frac{b^2}{a-b} $

Найдем общий знаменатель. Для этого разложим на множители знаменатель первой дроби: $3a-3b = 3(a-b)$. Таким образом, общий знаменатель — это $3(a-b)$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{a}{3}$ — это $(a-b)$.

Дополнительный множитель для третьей дроби $\frac{b^2}{a-b}$ — это $3$.

Приведем дроби к общему знаменателю и объединим их:

$ \frac{a(4a-b)}{3(a-b)} - \frac{a(a-b)}{3(a-b)} - \frac{3b^2}{3(a-b)} = \frac{a(4a-b) - a(a-b) - 3b^2}{3(a-b)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{4a^2-ab - (a^2-ab) - 3b^2}{3(a-b)} = \frac{4a^2-ab-a^2+ab-3b^2}{3(a-b)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(4a^2-a^2) + (-ab+ab) - 3b^2}{3(a-b)} = \frac{3a^2-3b^2}{3(a-b)} $

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$ \frac{3(a^2-b^2)}{3(a-b)} $

Сократим на 3 и применим формулу разности квадратов для числителя:

$ \frac{a^2-b^2}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} $

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:

$ a+b $

Ответ: $ a+b $

64 РАССУЖДАЕМ

а) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью $\frac{c - c^2}{c^3 + 2c}$, чтобы получить $\frac{1}{c^2 + 2}$. Проверьте результат.

б) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью $\frac{3}{x + 3}$, чтобы получить $\frac{3x^2}{x^3 + 27}$.

а) Чтобы найти неизвестную дробь, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Обозначим искомую дробь через $X$. Тогда получаем уравнение:

$\frac{c-c^2}{c^3+2c} + X = \frac{1}{c^2+2}$

Выразим $X$:

$X = \frac{1}{c^2+2} - \frac{c-c^2}{c^3+2c}$

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала упростим знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель $c$ за скобки:

$c^3+2c = c(c^2+2)$

Теперь наше выражение для $X$ выглядит так:

$X = \frac{1}{c^2+2} - \frac{c-c^2}{c(c^2+2)}$

Общим знаменателем является $c(c^2+2)$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $c$:

$X = \frac{1 \cdot c}{(c^2+2) \cdot c} - \frac{c-c^2}{c(c^2+2)} = \frac{c}{c(c^2+2)} - \frac{c-c^2}{c(c^2+2)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$X = \frac{c - (c-c^2)}{c(c^2+2)} = \frac{c - c + c^2}{c(c^2+2)} = \frac{c^2}{c(c^2+2)}$

Сократим полученную дробь на $c$:

$X = \frac{c}{c^2+2}$

Проверка результата:

Сложим исходную дробь с найденной:

$\frac{c-c^2}{c^3+2c} + \frac{c}{c^2+2}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители и сократим ее:

$\frac{c(1-c)}{c(c^2+2)} + \frac{c}{c^2+2} = \frac{1-c}{c^2+2} + \frac{c}{c^2+2}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(1-c) + c}{c^2+2} = \frac{1}{c^2+2}$

Результат совпадает с заданным в условии, следовательно, искомая дробь найдена верно.

Ответ: $\frac{c}{c^2+2}$

б) Аналогично предыдущему пункту, чтобы найти искомую дробь, вычтем из суммы известное слагаемое. Пусть искомая дробь - $Y$.

$Y = \frac{3x^2}{x^3+27} - \frac{3}{x+3}$

Для приведения к общему знаменателю разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+27 = x^3+3^3 = (x+3)(x^2-x \cdot 3+3^2) = (x+3)(x^2-3x+9)$

Теперь выражение для $Y$ принимает вид:

$Y = \frac{3x^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} - \frac{3}{x+3}$

Общий знаменатель - $(x+3)(x^2-3x+9)$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(x^2-3x+9)$:

$Y = \frac{3x^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} - \frac{3(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)}$

Выполним вычитание дробей:

$Y = \frac{3x^2 - 3(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные члены:

$Y = \frac{3x^2 - 3x^2 + 9x - 27}{(x+3)(x^2-3x+9)} = \frac{9x - 27}{(x+3)(x^2-3x+9)}$

В числителе можно вынести общий множитель 9 за скобки:

$Y = \frac{9(x-3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}$

Это и есть искомая дробь. Знаменатель можно оставить в разложенном виде или свернуть обратно в $x^3+27$.

Ответ: $\frac{9(x-3)}{x^3+27}$

Упростите выражение (65—68).

65 а) $ \frac{a}{ax - x^2} - \frac{a}{ax + x^2} $;

б) $ \frac{a - b}{a^2 + ab} - \frac{a + b}{a^2 - ab} $;

в) $ \frac{m + n}{m^2n - mn^2} - \frac{m - n}{m^2n + mn^2} $;

г) $ \frac{x + y}{xy - y^2} - \frac{4x}{x^2 - y^2} $.

а)

Исходное выражение: $ \frac{a}{ax - x^2} - \frac{a}{ax + x^2} $

1. Разложим на множители знаменатели дробей:

$ ax - x^2 = x(a - x) $

$ ax + x^2 = x(a + x) $

Выражение принимает вид: $ \frac{a}{x(a - x)} - \frac{a}{x(a + x)} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $ x(a - x)(a + x) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ (a + x) $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ (a - x) $.

$ \frac{a(a + x)}{x(a - x)(a + x)} - \frac{a(a - x)}{x(a - x)(a + x)} $

3. Выполним вычитание дробей:

$ \frac{a(a + x) - a(a - x)}{x(a - x)(a + x)} = \frac{a^2 + ax - (a^2 - ax)}{x(a^2 - x^2)} = \frac{a^2 + ax - a^2 + ax}{x(a^2 - x^2)} = \frac{2ax}{x(a^2 - x^2)} $

4. Сократим полученную дробь на $ x $:

$ \frac{2a}{a^2 - x^2} $

Ответ: $ \frac{2a}{a^2 - x^2} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{a-b}{a^2 + ab} - \frac{a+b}{a^2 - ab} $

1. Разложим на множители знаменатели дробей:

$ a^2 + ab = a(a + b) $

$ a^2 - ab = a(a - b) $

Выражение принимает вид: $ \frac{a-b}{a(a + b)} - \frac{a+b}{a(a - b)} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $ a(a + b)(a - b) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ (a - b) $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ (a + b) $.

$ \frac{(a-b)(a-b)}{a(a + b)(a - b)} - \frac{(a+b)(a+b)}{a(a + b)(a - b)} = \frac{(a-b)^2}{a(a^2 - b^2)} - \frac{(a+b)^2}{a(a^2 - b^2)} $

3. Выполним вычитание дробей и раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$ \frac{(a-b)^2 - (a+b)^2}{a(a^2 - b^2)} = \frac{(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)}{a(a^2 - b^2)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{a(a^2 - b^2)} = \frac{-4ab}{a(a^2 - b^2)} $

4. Сократим полученную дробь на $ a $:

$ \frac{-4b}{a^2 - b^2} $ или $ \frac{4b}{b^2 - a^2} $

Ответ: $ \frac{-4b}{a^2 - b^2} $

в)

Исходное выражение: $ \frac{m+n}{m^2n - mn^2} - \frac{m-n}{m^2n + mn^2} $

1. Разложим на множители знаменатели дробей:

$ m^2n - mn^2 = mn(m - n) $

$ m^2n + mn^2 = mn(m + n) $

Выражение принимает вид: $ \frac{m+n}{mn(m - n)} - \frac{m-n}{mn(m + n)} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $ mn(m - n)(m + n) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ (m + n) $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ (m - n) $.

$ \frac{(m+n)(m+n)}{mn(m - n)(m + n)} - \frac{(m-n)(m-n)}{mn(m - n)(m + n)} = \frac{(m+n)^2 - (m-n)^2}{mn(m^2-n^2)} $

3. Выполним вычитание дробей и применим в числителе формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ \frac{((m+n) - (m-n))((m+n) + (m-n))}{mn(m^2-n^2)} = \frac{(m+n-m+n)(m+n+m-n)}{mn(m^2-n^2)} = \frac{(2n)(2m)}{mn(m^2-n^2)} = \frac{4mn}{mn(m^2-n^2)} $

4. Сократим полученную дробь на $ mn $:

$ \frac{4}{m^2-n^2} $

Ответ: $ \frac{4}{m^2-n^2} $

г)

Исходное выражение: $ \frac{x+y}{xy - y^2} - \frac{4x}{x^2 - y^2} $

1. Разложим на множители знаменатели дробей:

$ xy - y^2 = y(x - y) $

$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $

Выражение принимает вид: $ \frac{x+y}{y(x - y)} - \frac{4x}{(x - y)(x + y)} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $ y(x - y)(x + y) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ (x + y) $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ y $.

$ \frac{(x+y)(x+y)}{y(x - y)(x + y)} - \frac{4x \cdot y}{y(x - y)(x + y)} = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{y(x^2-y^2)} $

3. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{x^2 + 2xy + y^2 - 4xy}{y(x^2 - y^2)} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{y(x^2 - y^2)} $

4. Свернем числитель по формуле квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ \frac{(x-y)^2}{y(x - y)(x + y)} $

5. Сократим полученную дробь на $ (x - y) $:

$ \frac{x-y}{y(x+y)} $

Ответ: $ \frac{x-y}{y(x+y)} $

66 a) $ \frac{4}{a} + \frac{4}{a^2 - a} - \frac{2}{a+1} $

б) $ \frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} + \frac{8}{x} $

В) $ \frac{x+1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} $

Г) $ \frac{1}{m+n} - \frac{m+n}{m^2-mn+n^2} + \frac{4mn}{m^3+n^3} $

67 a) $\frac{m+n}{m-n} + \frac{4mn}{n^2-m^2}$;

Б) $\frac{1-a}{a^2-a} - \frac{1+a}{1-a^2}$;

В) $\frac{b}{ab-a^2} + \frac{a}{ab-b^2}$;

Г) $\frac{4}{c^2-25} + \frac{2}{5c-c^2}$;

Д) $\frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{x}{3-x}$;

е) $\frac{y^2}{(1-y)^2} - \frac{y+1}{y-1}$.

а)

Исходное выражение: $ \frac{m+n}{m-n} + \frac{4mn}{n^2-m^2} $.
Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов: $ n^2-m^2 = (n-m)(n+m) $.
Заметим, что $ n-m = -(m-n) $. Поэтому знаменатель второй дроби можно переписать как $ -(m-n)(m+n) $.
Выражение примет вид:
$ \frac{m+n}{m-n} + \frac{4mn}{-(m-n)(m+n)} = \frac{m+n}{m-n} - \frac{4mn}{(m-n)(m+n)} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (m-n)(m+n) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (m+n) $:
$ \frac{(m+n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{4mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2 - 4mn}{(m-n)(m+n)} $.
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:
$ \frac{m^2+2mn+n^2 - 4mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2-2mn+n^2}{(m-n)(m+n)} $.
Свернем числитель по формуле квадрата разности $ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $:
$ \frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (m-n) $:
$ \frac{m-n}{m+n} $.

Ответ: $ \frac{m-n}{m+n} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{1-a}{a^2-a} - \frac{1+a}{1-a^2} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ a^2-a = a(a-1) $
$ 1-a^2 = (1-a)(1+a) $
Подставим разложенные знаменатели в выражение:
$ \frac{1-a}{a(a-1)} - \frac{1+a}{(1-a)(1+a)} $.
В первой дроби $ 1-a = -(a-1) $. Во второй дроби можно сократить $ (1+a) $.
$ \frac{-(a-1)}{a(a-1)} - \frac{1}{1-a} = -\frac{1}{a} - \frac{1}{1-a} $.
Приведем к общему знаменателю $ a(1-a) $:
$ -\frac{1 \cdot (1-a)}{a(1-a)} - \frac{1 \cdot a}{a(1-a)} = \frac{-(1-a) - a}{a(1-a)} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{-1+a-a}{a(1-a)} = \frac{-1}{a(1-a)} $.
Можно изменить знак в знаменателе, чтобы получить более стандартный вид:
$ \frac{-1}{-a(a-1)} = \frac{1}{a(a-1)} $.

Ответ: $ \frac{1}{a(a-1)} $

в)

Исходное выражение: $ \frac{b}{ab-a^2} + \frac{a}{ab-b^2} $.
Вынесем общие множители в знаменателях:
$ ab-a^2 = a(b-a) $
$ ab-b^2 = b(a-b) $
Выражение примет вид:
$ \frac{b}{a(b-a)} + \frac{a}{b(a-b)} $.
Заметим, что $ b-a = -(a-b) $. Перепишем первую дробь:
$ \frac{b}{a(-(a-b))} + \frac{a}{b(a-b)} = -\frac{b}{a(a-b)} + \frac{a}{b(a-b)} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ ab(a-b) $:
$ -\frac{b \cdot b}{ab(a-b)} + \frac{a \cdot a}{ab(a-b)} = \frac{-b^2+a^2}{ab(a-b)} = \frac{a^2-b^2}{ab(a-b)} $.
Разложим числитель по формуле разности квадратов:
$ \frac{(a-b)(a+b)}{ab(a-b)} $.
Сократим дробь на $ (a-b) $:
$ \frac{a+b}{ab} $.

Ответ: $ \frac{a+b}{ab} $

г)

Исходное выражение: $ \frac{4}{c^2-25} + \frac{2}{5c-c^2} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ c^2-25 = (c-5)(c+5) $
$ 5c-c^2 = c(5-c) $
Выражение примет вид:
$ \frac{4}{(c-5)(c+5)} + \frac{2}{c(5-c)} $.
Заметим, что $ 5-c = -(c-5) $. Перепишем вторую дробь:
$ \frac{4}{(c-5)(c+5)} + \frac{2}{c(-(c-5))} = \frac{4}{(c-5)(c+5)} - \frac{2}{c(c-5)} $.
Общий знаменатель $ c(c-5)(c+5) $. Приведем дроби к нему:
$ \frac{4c}{c(c-5)(c+5)} - \frac{2(c+5)}{c(c-5)(c+5)} = \frac{4c-2(c+5)}{c(c-5)(c+5)} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{4c-2c-10}{c(c-5)(c+5)} = \frac{2c-10}{c(c-5)(c+5)} $.
Вынесем в числителе общий множитель 2:
$ \frac{2(c-5)}{c(c-5)(c+5)} $.
Сократим дробь на $ (c-5) $:
$ \frac{2}{c(c+5)} $.

Ответ: $ \frac{2}{c(c+5)} $

д)

Исходное выражение: $ \frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{x}{3-x} $.
Заметим, что $ 3-x = -(x-3) $. Перепишем вторую дробь:
$ \frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{x}{-(x-3)} = \frac{x^2}{(x-3)^2} - \frac{x}{x-3} $.
Общий знаменатель $ (x-3)^2 $. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (x-3) $:
$ \frac{x^2}{(x-3)^2} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x-3)} = \frac{x^2 - x(x-3)}{(x-3)^2} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{x^2 - (x^2-3x)}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - x^2 + 3x}{(x-3)^2} = \frac{3x}{(x-3)^2} $.

Ответ: $ \frac{3x}{(x-3)^2} $

е)

Исходное выражение: $ \frac{y^2}{(1-y)^2} - \frac{y+1}{y-1} $.
Заметим, что $ y-1 = -(1-y) $. Перепишем вторую дробь:
$ \frac{y^2}{(1-y)^2} - \frac{y+1}{-(1-y)} = \frac{y^2}{(1-y)^2} + \frac{y+1}{1-y} $.
Общий знаменатель $ (1-y)^2 $. Приведем вторую дробь к этому знаменателю:
$ \frac{y^2}{(1-y)^2} + \frac{(y+1)(1-y)}{(1-y)(1-y)} = \frac{y^2 + (y+1)(1-y)}{(1-y)^2} $.
В числителе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $. В нашем случае $ (1+y)(1-y) = 1^2 - y^2 = 1-y^2 $:
$ \frac{y^2 + (1-y^2)}{(1-y)^2} = \frac{y^2+1-y^2}{(1-y)^2} = \frac{1}{(1-y)^2} $.

Ответ: $ \frac{1}{(1-y)^2} $