Номер 63, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 63, страница 22.

Условие.

63 Упростите выражение:

а) $\frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} - \frac{2x^2}{1-x^2}$

б) $\frac{1}{a+b} - \frac{2b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a-b}$

В) $\frac{y-6}{y^2+3y} - \frac{y-3}{y} + \frac{y}{y+3}$

Г) $\frac{a(4a-b)}{3a-3b} - \frac{a}{3} - \frac{b^2}{a-b}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} - \frac{2x^2}{1-x^2} $

Для упрощения этого выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Знаменатель третьей дроби, $1-x^2$, является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $1-x^2 = (1-x)(1+x)$. Этот знаменатель и будет общим для всех дробей.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1+x}{1-x}$ — это $(1+x)$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1-x}{1+x}$ — это $(1-x)$.

Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия в числителе:

$ \frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)} + \frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)} - \frac{2x^2}{1-x^2} = \frac{(1+x)^2 + (1-x)^2 - 2x^2}{1-x^2} $

Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):

$ \frac{(1+2x+x^2) + (1-2x+x^2) - 2x^2}{1-x^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{1+2x+x^2+1-2x+x^2-2x^2}{1-x^2} = \frac{(1+1) + (2x-2x) + (x^2+x^2-2x^2)}{1-x^2} = \frac{2+0+0}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2} $

Ответ: $ \frac{2}{1-x^2} $

б) $ \frac{1}{a+b} - \frac{2b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a-b} $

Сначала найдем общий знаменатель. Знаменатель средней дроби $a^2-b^2$ раскладывается на множители как $(a-b)(a+b)$. Это и будет общий знаменатель.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{a+b}$ — это $(a-b)$.

Дополнительный множитель для третьей дроби $\frac{1}{a-b}$ — это $(a+b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$ \frac{1(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{2b}{(a-b)(a+b)} + \frac{1(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b) - 2b + (a+b)}{a^2-b^2} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{a-b-2b+a+b}{a^2-b^2} = \frac{(a+a) + (-b-2b+b)}{a^2-b^2} = \frac{2a-2b}{a^2-b^2} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе и разложим знаменатель на множители:

$ \frac{2(a-b)}{(a-b)(a+b)} $

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:

$ \frac{2}{a+b} $

Ответ: $ \frac{2}{a+b} $

в) $ \frac{y-6}{y^2+3y} - \frac{y-3}{y} + \frac{y}{y+3} $

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $y^2+3y = y(y+3)$. Таким образом, общий знаменатель для всех дробей — это $y(y+3)$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{y-3}{y}$ — это $(y+3)$.

Дополнительный множитель для третьей дроби $\frac{y}{y+3}$ — это $y$.

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$ \frac{y-6}{y(y+3)} - \frac{(y-3)(y+3)}{y(y+3)} + \frac{y \cdot y}{y(y+3)} = \frac{(y-6) - (y-3)(y+3) + y^2}{y(y+3)} $

В числителе применим формулу разности квадратов для выражения $(y-3)(y+3)=y^2-9$:

$ \frac{y-6 - (y^2-9) + y^2}{y(y+3)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{y-6-y^2+9+y^2}{y(y+3)} = \frac{(-y^2+y^2) + y + (-6+9)}{y(y+3)} = \frac{y+3}{y(y+3)} $

Сократим дробь на общий множитель $(y+3)$:

$ \frac{1}{y} $

Ответ: $ \frac{1}{y} $

г) $ \frac{a(4a-b)}{3a-3b} - \frac{a}{3} - \frac{b^2}{a-b} $

Найдем общий знаменатель. Для этого разложим на множители знаменатель первой дроби: $3a-3b = 3(a-b)$. Таким образом, общий знаменатель — это $3(a-b)$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{a}{3}$ — это $(a-b)$.

Дополнительный множитель для третьей дроби $\frac{b^2}{a-b}$ — это $3$.

Приведем дроби к общему знаменателю и объединим их:

$ \frac{a(4a-b)}{3(a-b)} - \frac{a(a-b)}{3(a-b)} - \frac{3b^2}{3(a-b)} = \frac{a(4a-b) - a(a-b) - 3b^2}{3(a-b)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{4a^2-ab - (a^2-ab) - 3b^2}{3(a-b)} = \frac{4a^2-ab-a^2+ab-3b^2}{3(a-b)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(4a^2-a^2) + (-ab+ab) - 3b^2}{3(a-b)} = \frac{3a^2-3b^2}{3(a-b)} $

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$ \frac{3(a^2-b^2)}{3(a-b)} $

Сократим на 3 и применим формулу разности квадратов для числителя:

$ \frac{a^2-b^2}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} $

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:

$ a+b $

Ответ: $ a+b $