Номер 70, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 70, страница 23.

Условие.

70 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Представьте дробь в виде суммы или в виде разности многочлена и дроби:

а) $\frac{a^2}{a-1}$;

б) $\frac{c^2}{c^2-1}$;

в) $\frac{m^2+n^2}{m-n}$;

г) $\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}$.

Образец. $\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2-1+1}{x+1}=\frac{x^2-1}{x+1}+\frac{1}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы представить дробь в виде суммы многочлена и дроби, выделим в числителе выражение, которое делится на знаменатель. В данном случае знаменатель равен $a-1$. Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы получить в числителе выражение $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Для этого прибавим и вычтем 1 в числителе:

$\frac{a^2}{a-1} = \frac{a^2 - 1 + 1}{a-1}$

Теперь разделим полученную дробь на сумму двух дробей:

$\frac{a^2 - 1}{a-1} + \frac{1}{a-1}$

Сократим первую дробь, разложив числитель на множители:

$\frac{(a-1)(a+1)}{a-1} + \frac{1}{a-1} = a+1 + \frac{1}{a-1}$

Ответ: $a+1 + \frac{1}{a-1}$

б)

Используем тот же метод. Знаменатель дроби равен $c^2-1$. Представим числитель $c^2$ в виде $c^2-1+1$, чтобы выделить слагаемое, равное знаменателю.

$\frac{c^2}{c^2-1} = \frac{c^2-1+1}{c^2-1}$

Разделим дробь на сумму двух:

$\frac{c^2-1}{c^2-1} + \frac{1}{c^2-1}$

Первая дробь равна единице, так как числитель и знаменатель равны:

$1 + \frac{1}{c^2-1}$

Ответ: $1 + \frac{1}{c^2-1}$

в)

В дроби $\frac{m^2+n^2}{m-n}$ знаменатель равен $m-n$. Чтобы выделить в числителе выражение, делящееся на $m-n$, используем формулу разности квадратов $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. Для этого преобразуем числитель: $m^2+n^2 = m^2-n^2+2n^2$.

$\frac{m^2+n^2}{m-n} = \frac{m^2-n^2+2n^2}{m-n}$

Разделим на сумму двух дробей:

$\frac{m^2-n^2}{m-n} + \frac{2n^2}{m-n}$

Сократим первую дробь, разложив числитель на множители:

$\frac{(m-n)(m+n)}{m-n} + \frac{2n^2}{m-n} = m+n + \frac{2n^2}{m-n}$

Ответ: $m+n + \frac{2n^2}{m-n}$

г)

Для дроби $\frac{x^2+xz+z^2}{x+z}$ выделим в числителе слагаемое, которое делится на знаменатель $x+z$. Сгруппируем первые два слагаемых в числителе и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2+xz+z^2 = x(x+z)+z^2$

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{x(x+z)+z^2}{x+z}$

Разделим на сумму двух дробей:

$\frac{x(x+z)}{x+z} + \frac{z^2}{x+z}$

Сократив первую дробь, получим:

$x + \frac{z^2}{x+z}$

Данный результат также можно получить, разделив многочлен $x^2+xz+z^2$ на многочлен $x+z$ "уголком".

Ответ: $x + \frac{z^2}{x+z}$