Номер 68, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 68, страница 23.

Условие.

68 a) $\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b};$

б) $\frac{1}{x+y} - \frac{1}{y-x} - \frac{2y}{x^2-y^2};$

В) $\frac{a}{4-a^2} - \frac{2+a}{2a-4} - \frac{2-a}{4+2a};$

Г) $\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{x+1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное выражение: $\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2} + \frac{a}{a+b}$.

Для приведения дробей к общему знаменателю преобразуем знаменатель второй дроби: $b^2-a^2 = -(a^2-b^2) = -(a-b)(a+b)$. Это позволяет нам изменить знак перед второй дробью и использовать общий знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a}{a+b}$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Объединим числители под одним знаменателем:

$\frac{a(a+b) - (a^2+b^2) + a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + ab - a^2 - b^2 + a^2 - ab = (a^2 - a^2 + a^2) + (ab - ab) - b^2 = a^2 - b^2$

Подставим полученное выражение в числитель:

$\frac{a^2 - b^2}{(a-b)(a+b)}$

Так как $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, то дробь сокращается:

$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1$

Ответ: $1$

б)

Исходное выражение: $\frac{1}{x+y} - \frac{1}{y-x} - \frac{2y}{x^2-y^2}$.

Преобразуем знаменатели, чтобы найти общий. Заметим, что $y-x = -(x-y)$ и $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

$\frac{1}{x+y} - \frac{1}{-(x-y)} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$

Изменение знака во второй дроби дает:

$\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$

Общий знаменатель — $(x-y)(x+y)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{1(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{1(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{2y}{(x-y)(x+y)}$

Объединим числители:

$\frac{(x-y) + (x+y) - 2y}{(x-y)(x+y)}$

Упростим числитель:

$x - y + x + y - 2y = 2x - 2y = 2(x-y)$

Подставим обратно в дробь:

$\frac{2(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:

$\frac{2}{x+y}$

Ответ: $\frac{2}{x+y}$

в)

Исходное выражение: $\frac{a}{4-a^2} - \frac{2+a}{2a-4} - \frac{2-a}{4+2a}$.

Разложим знаменатели на множители:

$4-a^2 = (2-a)(2+a)$

$2a-4 = 2(a-2) = -2(2-a)$

$4+2a = 2(2+a)$

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$\frac{a}{(2-a)(2+a)} - \frac{2+a}{-2(2-a)} - \frac{2-a}{2(2+a)}$

Упростим знаки:

$\frac{a}{(2-a)(2+a)} + \frac{2+a}{2(2-a)} - \frac{2-a}{2(2+a)}$

Общий знаменатель — $2(2-a)(2+a)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{2a}{2(2-a)(2+a)} + \frac{(2+a)(2+a)}{2(2-a)(2+a)} - \frac{(2-a)(2-a)}{2(2-a)(2+a)}$

Объединим числители:

$\frac{2a + (2+a)^2 - (2-a)^2}{2(2-a)(2+a)}$

Упростим числитель, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$2a + (4+4a+a^2) - (4-4a+a^2) = 2a + 4 + 4a + a^2 - 4 + 4a - a^2 = 10a$

Подставим в дробь:

$\frac{10a}{2(2-a)(2+a)} = \frac{10a}{2(4-a^2)}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{5a}{4-a^2}$

Ответ: $\frac{5a}{4-a^2}$

г)

Исходное выражение: $\frac{x+1}{(x-1)^2} + \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{x+1}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $1-x^2 = -(x^2-1) = -(x-1)(x+1)$.

$\frac{x+1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x+1}$

Общий знаменатель — $(x-1)^2(x+1)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} - \frac{2(x-1)}{(x-1)^2(x+1)} - \frac{1(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}$

Объединим числители:

$\frac{(x+1)^2 - 2(x-1) - (x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(x^2+2x+1) - (2x-2) - (x^2-2x+1) = x^2+2x+1-2x+2-x^2+2x-1 = 2x+2 = 2(x+1)$

Подставим упрощенный числитель в дробь:

$\frac{2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+1)$:

$\frac{2}{(x-1)^2}$

Ответ: $\frac{2}{(x-1)^2}$