Номер 71, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 71, страница 23.

Условие.

71 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) $\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0$

б) $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$

Подсказка. б) Сначала сложите первую и вторую дроби, затем прибавьте третью.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для доказательства данного тождества необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели второй и третьей дробей, чтобы они содержали одинаковые множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} $$

Заметим, что $b-a = -(a-b)$, $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$. Используем эти соотношения для преобразования знаменателей:

Вторая дробь: $$ \frac{1}{(b-c)(b-a)} = \frac{1}{(b-c)(-(a-b))} = -\frac{1}{(a-b)(b-c)} $$

Третья дробь: $$ \frac{1}{(c-a)(c-b)} = \frac{1}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Подставим преобразованные дроби обратно в исходное равенство:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)} $$

Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(a-b)(b-c)(a-c)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на недостающий множитель:

$$ \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{1 \cdot (a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)} $$

Теперь, когда у всех дробей общий знаменатель, сложим их числители:

$$ \frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(a-c)} = 0 $$

Таким образом, левая часть тождества равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: В результате преобразований левая часть тождества равна $0$, что доказывает равенство.

б) Докажем тождество, следуя подсказке. Сначала сложим первую и вторую дроби, а затем к полученному результату прибавим третью дробь.

Шаг 1. Сложение первой и второй дробей.

$$ \frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} $$

Общий знаменатель для этих дробей — $a(a+1)(a+2)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{1 \cdot (a+2)}{a(a+1)(a+2)} + \frac{1 \cdot a}{a(a+1)(a+2)} = \frac{a+2+a}{a(a+1)(a+2)} = \frac{2a+2}{a(a+1)(a+2)} $$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь на $(a+1)$:

$$ \frac{2(a+1)}{a(a+1)(a+2)} = \frac{2}{a(a+2)} $$

Шаг 2. Сложение результата первого шага и третьей дроби.

Теперь к полученной дроби $\frac{2}{a(a+2)}$ прибавим третью дробь из исходного выражения $\frac{1}{(a+2)(a+3)}$:

$$ \frac{2}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} $$

Общий знаменатель для этих дробей — $a(a+2)(a+3)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{2 \cdot (a+3)}{a(a+2)(a+3)} + \frac{1 \cdot a}{a(a+2)(a+3)} = \frac{2(a+3)+a}{a(a+2)(a+3)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{2a+6+a}{a(a+2)(a+3)} = \frac{3a+6}{a(a+2)(a+3)} $$

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки и сократим дробь на $(a+2)$:

$$ \frac{3(a+2)}{a(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)} $$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества.

Ответ: В результате последовательного сложения дробей левая часть выражения была приведена к виду $\frac{3}{a(a+3)}$, что и требовалось доказать.