Номер 78, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 78, страница 26.

Условие.

78 Выполните деление:

а) $\frac{ax - xy}{a} : \frac{a^2 - ay}{x}$;

б) $\frac{ab + ac}{bc} : \frac{ab - ac}{bc}$;

в) $\frac{x}{x^2 - y^2} : \frac{1}{5x + 5y}$;

г) $\frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{a^2 - b^2}$;

д) $\frac{a^2 + ab}{b^2} : \frac{a^2 + a}{b}$;

е) $\frac{m^2 - mn}{n} : \frac{mn - n^2}{m}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы разделить дробь $ \frac{ax - xy}{a} $ на дробь $ \frac{a^2 - ay}{x} $, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$ \frac{ax - xy}{a} : \frac{a^2 - ay}{x} = \frac{ax - xy}{a} \cdot \frac{x}{a^2 - ay} $.
Теперь разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, вынеся общие множители за скобки:
$ ax - xy = x(a - y) $
$ a^2 - ay = a(a - y) $
Подставим разложенные выражения обратно в произведение:
$ \frac{x(a - y)}{a} \cdot \frac{x}{a(a - y)} = \frac{x(a - y) \cdot x}{a \cdot a(a - y)} $.
Сократим общий множитель $ (a - y) $. Предполагается, что $ a \neq 0, x \neq 0, a \neq y $.
$ \frac{x \cdot x}{a \cdot a} = \frac{x^2}{a^2} $.
Ответ: $ \frac{x^2}{a^2} $.

б) Выполним деление дробей $ \frac{ab + ac}{bc} $ на $ \frac{ab - ac}{bc} $, заменив его умножением на обратную дробь:
$ \frac{ab + ac}{bc} : \frac{ab - ac}{bc} = \frac{ab + ac}{bc} \cdot \frac{bc}{ab - ac} $.
Вынесем общий множитель $ a $ в числителе первой дроби и знаменателе второй:
$ \frac{a(b + c)}{bc} \cdot \frac{bc}{a(b - c)} = \frac{a(b + c) \cdot bc}{bc \cdot a(b - c)} $.
Сократим общие множители $ a $ и $ bc $. Предполагается, что $ a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0, b \neq c $.
$ \frac{b + c}{b - c} $.
Ответ: $ \frac{b + c}{b - c} $.

в) Выполним деление дробей $ \frac{x}{x^2 - y^2} $ на $ \frac{1}{5x + 5y} $:
$ \frac{x}{x^2 - y^2} : \frac{1}{5x + 5y} = \frac{x}{x^2 - y^2} \cdot \frac{5x + 5y}{1} $.
Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и вынесем общий множитель в числителе второй дроби:
$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $
$ 5x + 5y = 5(x + y) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{x}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{5(x + y)}{1} = \frac{x \cdot 5(x + y)}{(x - y)(x + y)} $.
Сократим общий множитель $ (x + y) $. Предполагается, что $ x \neq y, x \neq -y $.
$ \frac{5x}{x - y} $.
Ответ: $ \frac{5x}{x - y} $.

г) Выполним деление дробей $ \frac{1}{a^2 - ab} $ на $ \frac{b}{a^2 - b^2} $:
$ \frac{1}{a^2 - ab} : \frac{b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a^2 - ab} \cdot \frac{a^2 - b^2}{b} $.
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй:
$ a^2 - ab = a(a - b) $
$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{1}{a(a - b)} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - b)b} $.
Сократим общий множитель $ (a - b) $. Предполагается, что $ a \neq 0, b \neq 0, a \neq b $.
$ \frac{a + b}{ab} $.
Ответ: $ \frac{a + b}{ab} $.

д) Выполним деление дробей $ \frac{a^2 + ab}{b^2} $ на $ \frac{a^2 + a}{b} $:
$ \frac{a^2 + ab}{b^2} : \frac{a^2 + a}{b} = \frac{a^2 + ab}{b^2} \cdot \frac{b}{a^2 + a} $.
Вынесем общие множители в числителе первой дроби и знаменателе второй:
$ a^2 + ab = a(a + b) $
$ a^2 + a = a(a + 1) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{a(a + b)}{b^2} \cdot \frac{b}{a(a + 1)} = \frac{a(a + b)b}{b^2 a(a + 1)} $.
Сократим общие множители $ a $ и $ b $. Предполагается, что $ a \neq 0, b \neq 0, a \neq -1 $.
$ \frac{a + b}{b(a + 1)} $.
Ответ: $ \frac{a + b}{b(a + 1)} $.

е) Выполним деление дробей $ \frac{m^2 - mn}{n} $ на $ \frac{mn - n^2}{m} $:
$ \frac{m^2 - mn}{n} : \frac{mn - n^2}{m} = \frac{m^2 - mn}{n} \cdot \frac{m}{mn - n^2} $.
Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:
$ m^2 - mn = m(m - n) $
$ mn - n^2 = n(m - n) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{m(m - n)}{n} \cdot \frac{m}{n(m - n)} = \frac{m(m - n)m}{n \cdot n(m - n)} $.
Сократим общий множитель $ (m - n) $. Предполагается, что $ m \neq 0, n \neq 0, m \neq n $.
$ \frac{m \cdot m}{n \cdot n} = \frac{m^2}{n^2} $.
Ответ: $ \frac{m^2}{n^2} $.