Номер 85, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 85, страница 27.

Условие.

85 Упростите выражение:

а) $\frac{2x^2y}{a^2} \cdot \frac{a}{xy^2} : \frac{2x^2}{a^3y}$;

б) $(\frac{ab^3}{x} : \frac{5b^2}{a}) : \frac{a^3}{2x}$;

в) $x^3y^2 : \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{y^3}$;

г) $\frac{2ab^5}{3c} \cdot 6ac : (2b^3c)$;

д) $3xy^2 \cdot \frac{x}{y} : \frac{6x^2}{y}$;

е) $\frac{3m^2}{2n^2} \cdot \frac{10n}{3m} : (15mn)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить данное выражение, сначала заменим деление на умножение, перевернув дробь-делитель.
$\frac{2x^2y}{a^2} \cdot \frac{a}{xy^2} : \frac{2x^2}{a^3y} = \frac{2x^2y}{a^2} \cdot \frac{a}{xy^2} \cdot \frac{a^3y}{2x^2}$
Теперь объединим все в одну дробь, перемножив числители и знаменатели:
$\frac{2x^2y \cdot a \cdot a^3y}{a^2 \cdot xy^2 \cdot 2x^2} = \frac{2a^{1+3}x^2y^{1+1}}{2a^2x^{1+2}y^2} = \frac{2a^4x^2y^2}{2a^2x^3y^2}$
Сократим общие множители (2, $a^2$, $x^2$, $y^2$):
$\frac{\cancel{2}a^{4-2}x^{2-3}y^{2-2}}{\cancel{2}} = a^2x^{-1}y^0 = a^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{a^2}{x}$
Ответ: $\frac{a^2}{x}$

б) Сначала выполним действие в скобках. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:
$\frac{ab^3}{x} : \frac{5b^2}{a} = \frac{ab^3}{x} \cdot \frac{a}{5b^2} = \frac{a \cdot a \cdot b^3}{x \cdot 5 \cdot b^2} = \frac{a^2b^3}{5xb^2} = \frac{a^2b}{5x}$
Теперь разделим результат на вторую дробь:
$\frac{a^2b}{5x} : \frac{a^3}{2x} = \frac{a^2b}{5x} \cdot \frac{2x}{a^3} = \frac{a^2b \cdot 2x}{5x \cdot a^3} = \frac{2a^2bx}{5a^3x}$
Сократим общие множители ($a^2$, $x$):
$\frac{2b}{5a}$
Ответ: $\frac{2b}{5a}$

в) Выполняем действия последовательно слева направо. Сначала деление:
$x^3y^2 : \frac{1}{x^2} = x^3y^2 \cdot \frac{x^2}{1} = x^{3+2}y^2 = x^5y^2$
Теперь выполним умножение:
$x^5y^2 \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{x^5y^2}{y^3} = x^5y^{2-3} = x^5y^{-1} = \frac{x^5}{y}$
Ответ: $\frac{x^5}{y}$

г) Выполняем действия последовательно слева направо. Сначала умножение, представив $6ac$ как дробь $\frac{6ac}{1}$:
$\frac{2ab^5}{3c} \cdot 6ac = \frac{2ab^5 \cdot 6ac}{3c} = \frac{12a^2b^5c}{3c}$
Сократим $c$ и разделим 12 на 3:
$4a^2b^5$
Теперь выполним деление на $(2b^3c)$:
$4a^2b^5 : (2b^3c) = \frac{4a^2b^5}{2b^3c}$
Сократим коэффициенты и степени:
$\frac{4}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{b^5}{b^3} \cdot \frac{1}{c} = 2a^2b^{5-3}c^{-1} = \frac{2a^2b^2}{c}$
Ответ: $\frac{2a^2b^2}{c}$

д) Выполняем действия слева направо. Сначала умножение:
$3xy^2 \cdot \frac{x}{y} = \frac{3xy^2 \cdot x}{y} = \frac{3x^2y^2}{y} = 3x^2y$
Теперь деление:
$3x^2y : \frac{6x^2}{y} = 3x^2y \cdot \frac{y}{6x^2} = \frac{3x^2y \cdot y}{6x^2} = \frac{3x^2y^2}{6x^2}$
Сократим общие множители ($3$, $x^2$):
$\frac{y^2}{2}$
Ответ: $\frac{y^2}{2}$

е) Выполняем действия слева направо. Сначала умножение дробей:
$\frac{3m^2}{2n^2} \cdot \frac{10n}{3m} = \frac{3m^2 \cdot 10n}{2n^2 \cdot 3m} = \frac{30m^2n}{6mn^2}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{5 \cdot 6 \cdot m \cdot m \cdot n}{6 \cdot m \cdot n \cdot n} = \frac{5m}{n}$
Теперь выполним деление на $(15mn)$, представив его как дробь $\frac{15mn}{1}$:
$\frac{5m}{n} : (15mn) = \frac{5m}{n} \cdot \frac{1}{15mn} = \frac{5m}{n \cdot 15mn} = \frac{5m}{15mn^2}$
Сократим общие множители (5, $m$):
$\frac{1}{3n^2}$
Ответ: $\frac{1}{3n^2}$