Номер 86, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 86, страница 27.

Условие.

Выполните действия (86–89).

86. а) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x} \cdot \frac{x^2 - 25}{x^2 + 3x}$;

б) $\frac{b^2 - ab}{a^2 + ad} : \frac{ab}{d^2 + ad}$;

В) $\frac{4x - y}{x^2 + xy} : \frac{4x^2 - xy}{2x^2 - 2y^2}$;

Г) $\frac{a^2 + 4a + 4}{2a - 2} \cdot \frac{a^2 - a}{3a + 6}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{x^2-9}{x^2-5x} \cdot \frac{x^2-25}{x^2+3x}$

Для выполнения умножения дробей сначала разложим числители и знаменатели на множители. Мы будем использовать формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки.

Разложим на множители каждый элемент дробей:

• Числитель первой дроби: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
• Знаменатель первой дроби: $x^2-5x = x(x-5)$.
• Числитель второй дроби: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.
• Знаменатель второй дроби: $x^2+3x = x(x+3)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{(x-3)(x+3)}{x(x-5)} \cdot \frac{(x-5)(x+5)}{x(x+3)}$

Прежде чем перемножить дроби, сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общие множители — это $(x-5)$ и $(x+3)$.

$\frac{(x-3)\cancel{(x+3)}\cancel{(x-5)}(x+5)}{x\cancel{(x-5)}x\cancel{(x+3)}} = \frac{(x-3)(x+5)}{x \cdot x}$

Остается перемножить оставшиеся множители в числителе и знаменателе:

$\frac{x^2+5x-3x-15}{x^2} = \frac{x^2+2x-15}{x^2}$

Ответ: $\frac{x^2+2x-15}{x^2}$

б) $\frac{b^2-ab}{a^2+ad} \div \frac{ab}{d^2+ad}$

Чтобы выполнить деление дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{b^2-ab}{a^2+ad} \cdot \frac{d^2+ad}{ab}$

Теперь разложим числители и знаменатели на множители, вынося общие множители за скобки:

• $b^2-ab = b(b-a)$
• $a^2+ad = a(a+d)$
• $d^2+ad = d(d+a)$

Подставим эти выражения в наше произведение:

$\frac{b(b-a)}{a(a+d)} \cdot \frac{d(d+a)}{ab}$

Сократим общие множители $b$ и $(a+d)$ (так как $d+a = a+d$):

$\frac{\cancel{b}(b-a)d\cancel{(d+a)}}{a\cancel{(a+d)}a\cancel{b}} = \frac{d(b-a)}{a \cdot a}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{d(b-a)}{a^2}$

Ответ: $\frac{d(b-a)}{a^2}$

в) $\frac{4x-y}{x^2+xy} \div \frac{4x^2-xy}{2x^2-2y^2}$

Заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь:

$\frac{4x-y}{x^2+xy} \cdot \frac{2x^2-2y^2}{4x^2-xy}$

Разложим на множители числители и знаменатели полученных дробей.

• Знаменатель первой дроби: $x^2+xy = x(x+y)$.
• Числитель второй дроби: $2x^2-2y^2 = 2(x^2-y^2) = 2(x-y)(x+y)$ (вынесение общего множителя и формула разности квадратов).
• Знаменатель второй дроби: $4x^2-xy = x(4x-y)$.

Выражение $4x-y$ в числителе первой дроби не раскладывается на множители.

Подставим разложенные части обратно:

$\frac{4x-y}{x(x+y)} \cdot \frac{2(x-y)(x+y)}{x(4x-y)}$

Теперь сократим общие множители $(4x-y)$ и $(x+y)$:

$\frac{\cancel{(4x-y)} \cdot 2(x-y)\cancel{(x+y)}}{x\cancel{(x+y)} \cdot x\cancel{(4x-y)}} = \frac{2(x-y)}{x \cdot x}$

Упростим результат:

$\frac{2(x-y)}{x^2}$

Ответ: $\frac{2(x-y)}{x^2}$

г) $\frac{a^2+4a+4}{2a-2} \cdot \frac{a^2-a}{3a+6}$

Для решения примера разложим на множители все числители и знаменатели.

• Числитель первой дроби является полным квадратом суммы: $a^2+4a+4 = (a+2)^2$.
• Знаменатель первой дроби: $2a-2 = 2(a-1)$.
• Числитель второй дроби: $a^2-a = a(a-1)$.
• Знаменатель второй дроби: $3a+6 = 3(a+2)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(a+2)^2}{2(a-1)} \cdot \frac{a(a-1)}{3(a+2)}$

Сократим общие множители $(a-1)$ и $(a+2)$. Учтем, что $(a+2)^2 = (a+2)(a+2)$.

$\frac{(a+2)^{\cancel{2}} \cdot a\cancel{(a-1)}}{2\cancel{(a-1)} \cdot 3\cancel{(a+2)}} = \frac{a(a+2)}{2 \cdot 3}$

Перемножим оставшиеся числа в знаменателе:

$\frac{a(a+2)}{6}$

Ответ: $\frac{a(a+2)}{6}$