Номер 84, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 84, страница 27.

Условие.

84 а) $ \frac{x-y}{x} \cdot (x+y); $

б) $ (2a+6) \cdot \frac{a-2}{a+3}; $

в) $ \frac{4a^2}{2a-b} \cdot (2a-b); $

г) $ (2m-3) \cdot \frac{m-1}{2m-3}; $

д) $ \frac{n^2-4}{3} : (n-2)^2; $

е) $ (x-z) : \frac{x^2-2xz+z^2}{x^2-z^2}; $

ж) $ \frac{p^2+4p+4}{p-2} : (p^2-4); $

з) $ \frac{b}{a^2-ab} : (ab-b^2). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы умножить дробь на выражение, представим это выражение в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение дробей (числитель на числитель, знаменатель на знаменатель).

$\frac{x-y}{x} \cdot (x+y) = \frac{x-y}{x} \cdot \frac{x+y}{1} = \frac{(x-y)(x+y)}{x}$

В числителе находится произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов (формула разности квадратов): $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\frac{(x-y)(x+y)}{x} = \frac{x^2-y^2}{x}$

Ответ: $\frac{x^2-y^2}{x}$

б)

В выражении $(2a+6)$ вынесем общий множитель 2 за скобки. Затем выполним умножение, предварительно сократив дроби.

$(2a+6) \cdot \frac{a-2}{a+3} = 2(a+3) \cdot \frac{a-2}{a+3}$

Представим $2(a+3)$ в виде дроби $\frac{2(a+3)}{1}$:

$\frac{2(a+3)}{1} \cdot \frac{a-2}{a+3} = \frac{2(a+3)(a-2)}{a+3}$

Сократим общий множитель $(a+3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a+3 \neq 0$):

$2(a-2) = 2a - 4$

Ответ: $2a-4$

в)

Умножим дробь на выражение, представив его как дробь со знаменателем 1.

$\frac{4a^2}{2a-b} \cdot (2a-b) = \frac{4a^2}{2a-b} \cdot \frac{2a-b}{1} = \frac{4a^2(2a-b)}{2a-b}$

Сократим дробь на общий множитель $(2a-b)$ (при условии, что $2a-b \neq 0$):

$4a^2$

Ответ: $4a^2$

г)

Умножим выражение на дробь, представив выражение как дробь со знаменателем 1.

$(2m-3) \cdot \frac{m-1}{2m-3} = \frac{2m-3}{1} \cdot \frac{m-1}{2m-3} = \frac{(2m-3)(m-1)}{2m-3}$

Сократим дробь на общий множитель $(2m-3)$ (при условии, что $2m-3 \neq 0$):

$m-1$

Ответ: $m-1$

д)

Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на выражение, обратное данному.

$\frac{n^2-4}{3} : (n-2)^2 = \frac{n^2-4}{3} \cdot \frac{1}{(n-2)^2}$

Разложим числитель $n^2-4$ на множители по формуле разности квадратов: $n^2-4 = (n-2)(n+2)$.

$\frac{(n-2)(n+2)}{3} \cdot \frac{1}{(n-2)^2} = \frac{(n-2)(n+2)}{3(n-2)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(n-2)$ (при условии, что $n-2 \neq 0$):

$\frac{n+2}{3(n-2)}$

Ответ: $\frac{n+2}{3(n-2)}$

е)

Чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить это выражение на дробь, обратную данной (перевернутую).

$(x-z) : \frac{x^2 - 2xz + z^2}{x^2 - z^2} = (x-z) \cdot \frac{x^2 - z^2}{x^2 - 2xz + z^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Числитель $x^2-z^2 = (x-z)(x+z)$ (разность квадратов). Знаменатель $x^2-2xz+z^2 = (x-z)^2$ (квадрат разности).

$\frac{x-z}{1} \cdot \frac{(x-z)(x+z)}{(x-z)^2} = \frac{(x-z)(x-z)(x+z)}{(x-z)^2} = \frac{(x-z)^2(x+z)}{(x-z)^2}$

Сократим дробь на $(x-z)^2$ (при условии, что $x-z \neq 0$):

$x+z$

Ответ: $x+z$

ж)

Заменим деление умножением на обратное выражение.

$\frac{p^2+4p+4}{p-2} : (p^2 - 4) = \frac{p^2+4p+4}{p-2} \cdot \frac{1}{p^2 - 4}$

Разложим на множители числитель первой дроби $p^2+4p+4=(p+2)^2$ (квадрат суммы) и знаменатель второй дроби $p^2-4=(p-2)(p+2)$ (разность квадратов).

$\frac{(p+2)^2}{p-2} \cdot \frac{1}{(p-2)(p+2)} = \frac{(p+2)^2}{(p-2)(p-2)(p+2)} = \frac{(p+2)^2}{(p-2)^2(p+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(p+2)$ (при условии, что $p+2 \neq 0$ и $p-2 \neq 0$):

$\frac{p+2}{(p-2)^2}$

Ответ: $\frac{p+2}{(p-2)^2}$

з)

Заменим деление на умножение на обратное выражение.

$\frac{b}{a^2-ab} : (ab - b^2) = \frac{b}{a^2-ab} \cdot \frac{1}{ab - b^2}$

В знаменателе первой дроби вынесем за скобки $a$, а в знаменателе второй дроби вынесем $b$.

$\frac{b}{a(a-b)} \cdot \frac{1}{b(a-b)}$

Перемножим дроби:

$\frac{b}{a(a-b) \cdot b(a-b)} = \frac{b}{ab(a-b)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $b$ (при условии, что $b \neq 0, a \neq 0, a-b \neq 0$):

$\frac{1}{a(a-b)^2}$

Ответ: $\frac{1}{a(a-b)^2}$