Номер 80, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 80, страница 26.

Условие.

80 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Упростите выражение:

а) $\frac{5x - 5y}{x} \cdot \frac{2x^2}{y - x}$;

б) $\frac{a^2 - c^2}{c^2} : \frac{c - a}{c}$;

в) $\frac{a}{ab - b^2} : \frac{a^2}{b^2 - a^2}$;

г) $\frac{(x - y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{y^2 - x^2}$;

д) $\frac{2a^2}{25 - 5a} : \frac{10a}{(a - 5)^2}$;

е) $\frac{m}{3m - 3n} \cdot \frac{n^2 - m^2}{m^2}$.

Образец. $\frac{x - y}{a} : \frac{y - x}{b} = \frac{x - y}{a} \cdot \frac{b}{y - x} = - \frac{(x - y)b}{a(x - y)} = - \frac{b}{a}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{5x - 5y}{x} \cdot \frac{2x^2}{y - x}$

Для упрощения выражения сначала разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй. В числителе $5x - 5y$ вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(x - y)$. В знаменателе $y - x$ вынесем -1 за скобки, чтобы получить выражение $-(x - y)$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное: $$ \frac{5(x - y)}{x} \cdot \frac{2x^2}{-(x - y)} $$

Теперь выполним умножение дробей и сократим общие множители $(x-y)$ и $x$: $$ \frac{5(x - y) \cdot 2x^2}{x \cdot (-(x - y))} = \frac{5 \cdot 2x}{-1} = -10x $$

Ответ: $-10x$

б) $\frac{a^2 - c^2}{c^2} : \frac{c - a}{c}$

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $$ \frac{a^2 - c^2}{c^2} \cdot \frac{c}{c - a} $$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$. Также заметим, что $c-a = -(a-c)$. $$ \frac{(a-c)(a+c)}{c^2} \cdot \frac{c}{-(a-c)} $$

Сократим общие множители $(a-c)$ и $c$: $$ \frac{(a-c)(a+c) \cdot c}{c^2 \cdot (-(a-c))} = \frac{a+c}{-c} = -\frac{a+c}{c} $$

Ответ: $-\frac{a+c}{c}$

в) $\frac{a}{ab - b^2} : \frac{a^2}{b^2 - a^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь. Затем разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй. $$ \frac{a}{ab - b^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{a^2} = \frac{a}{b(a - b)} \cdot \frac{(b-a)(b+a)}{a^2} $$

Используем тождество $b-a = -(a-b)$, чтобы упростить сокращение: $$ \frac{a}{b(a - b)} \cdot \frac{-(a-b)(b+a)}{a^2} $$

Сократим общие множители $a$ и $(a-b)$: $$ \frac{a \cdot (-(a-b)(b+a))}{b(a-b) \cdot a^2} = \frac{-(b+a)}{ba} = -\frac{a+b}{ab} $$

Ответ: $-\frac{a+b}{ab}$

г) $\frac{(x - y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{y^2 - x^2}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$. $$ \frac{(x - y)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{(y-x)(y+x)} $$

Заметим, что $(x-y)^2 = (y-x)^2$. Это позволяет нам сократить дробь. $$ \frac{(y-x)^2}{y^2} \cdot \frac{y^2}{(y-x)(y+x)} $$

Сократим общие множители $y^2$ и $(y-x)$: $$ \frac{(y-x)^2 \cdot y^2}{y^2 \cdot (y-x)(y+x)} = \frac{y-x}{y+x} $$

Ответ: $\frac{y-x}{y+x}$

д) $\frac{2a^2}{25 - 5a} : \frac{10a}{(a - 5)^2}$

Заменим деление на умножение и вынесем общие множители в знаменателе первой дроби: $25 - 5a = 5(5 - a)$. $$ \frac{2a^2}{5(5 - a)} \cdot \frac{(a - 5)^2}{10a} $$

Используем тождества $5-a = -(a-5)$ и $(a-5)^2 = (5-a)^2$: $$ \frac{2a^2}{5(5 - a)} \cdot \frac{(5-a)^2}{10a} $$

Перемножим дроби и сократим общие множители: $$ \frac{2a^2 \cdot (5-a)^2}{5(5-a) \cdot 10a} = \frac{2a^2(5-a)}{50a} = \frac{a(5-a)}{25} $$

Ответ: $\frac{a(5-a)}{25}$

е) $\frac{m}{3m - 3n} \cdot \frac{n^2 - m^2}{m^2}$

Вынесем общие множители и разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов: $n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$. $$ \frac{m}{3(m - n)} \cdot \frac{(n-m)(n+m)}{m^2} $$

Заметим, что $n-m = -(m-n)$. Подставим это в выражение: $$ \frac{m}{3(m - n)} \cdot \frac{-(m-n)(n+m)}{m^2} $$

Сократим общие множители $m$ и $(m-n)$: $$ \frac{m \cdot (-(m-n)(n+m))}{3(m-n) \cdot m^2} = \frac{-(n+m)}{3m} = -\frac{m+n}{3m} $$

Ответ: $-\frac{m+n}{3m}$