Номер 66, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 66, страница 22.

Условие.

66 a) $ \frac{4}{a} + \frac{4}{a^2 - a} - \frac{2}{a+1} $

б) $ \frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} + \frac{8}{x} $

В) $ \frac{x+1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} $

Г) $ \frac{1}{m+n} - \frac{m+n}{m^2-mn+n^2} + \frac{4mn}{m^3+n^3} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для упрощения выражения $\frac{4}{a} + \frac{4}{a^2 - a} - \frac{2}{a+1}$ необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители: $a^2 - a = a(a-1)$.

2. Выражение принимает вид: $\frac{4}{a} + \frac{4}{a(a-1)} - \frac{2}{a+1}$.

3. Общий знаменатель для этих дробей — $a(a-1)(a+1)$.

4. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

$\frac{4(a-1)(a+1)}{a(a-1)(a+1)} + \frac{4(a+1)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{2a(a-1)}{a(a-1)(a+1)}$

5. Объединим дроби под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$\frac{4(a^2-1) + 4a + 4 - 2(a^2-a)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{4a^2 - 4 + 4a + 4 - 2a^2 + 2a}{a(a-1)(a+1)}$

6. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4a^2 - 2a^2) + (4a + 2a) + (-4 + 4)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2 + 6a}{a(a-1)(a+1)}$

7. Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{2a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{2(a+3)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2(a+3)}{a^2-1}$

Ответ: $\frac{2(a+3)}{a^2-1}$

б)

Для упрощения выражения $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} + \frac{8}{x}$ приведем дроби к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель для дробей — $x(x+2)(x-2) = x(x^2-4)$.

2. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

$\frac{(x-2)x(x-2)}{x(x+2)(x-2)} - \frac{(x+2)x(x+2)}{x(x+2)(x-2)} + \frac{8(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}$

3. Объединим дроби под общим знаменателем:

$\frac{x(x-2)^2 - x(x+2)^2 + 8(x^2-4)}{x(x^2-4)}$

4. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x(x^2 - 4x + 4) - x(x^2 + 4x + 4) + 8x^2 - 32}{x(x^2-4)}$

$\frac{x^3 - 4x^2 + 4x - (x^3 + 4x^2 + 4x) + 8x^2 - 32}{x(x^2-4)}$

$\frac{x^3 - 4x^2 + 4x - x^3 - 4x^2 - 4x + 8x^2 - 32}{x(x^2-4)}$

5. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^3-x^3) + (-4x^2 - 4x^2 + 8x^2) + (4x - 4x) - 32}{x(x^2-4)} = \frac{0 - 32}{x(x^2-4)} = -\frac{32}{x(x^2-4)}$

Ответ: $-\frac{32}{x(x^2-4)}$

в)

Для упрощения выражения $\frac{x+1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x}$ приведем дроби к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель для дробей — $x(x-1)^2$.

2. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

$\frac{(x+1)x}{x(x-1)^2} - \frac{1 \cdot x(x-1)}{x(x-1)^2} + \frac{1 \cdot (x-1)^2}{x(x-1)^2}$

3. Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{x(x+1) - x(x-1) + (x-1)^2}{x(x-1)^2} = \frac{(x^2+x) - (x^2-x) + (x^2-2x+1)}{x(x-1)^2}$

$\frac{x^2+x - x^2+x + x^2-2x+1}{x(x-1)^2}$

4. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^2-x^2+x^2) + (x+x-2x) + 1}{x(x-1)^2} = \frac{x^2+1}{x(x-1)^2}$

Ответ: $\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}$

г)

Для упрощения выражения $\frac{1}{m+n} - \frac{m+n}{m^2-mn+n^2} + \frac{4mn}{m^3+n^3}$ приведем дроби к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель последней дроби по формуле суммы кубов: $m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

2. Общий знаменатель для всех дробей — $m^3+n^3$.

3. Приведем первые две дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (m^2-mn+n^2)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)} - \frac{(m+n)(m+n)}{(m+n)(m^2-mn+n^2)} + \frac{4mn}{m^3+n^3}$

4. Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{(m^2-mn+n^2) - (m+n)^2 + 4mn}{m^3+n^3} = \frac{m^2-mn+n^2 - (m^2+2mn+n^2) + 4mn}{m^3+n^3}$

$\frac{m^2-mn+n^2 - m^2-2mn-n^2 + 4mn}{m^3+n^3}$

5. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(m^2-m^2) + (-mn-2mn+4mn) + (n^2-n^2)}{m^3+n^3} = \frac{mn}{m^3+n^3}$

Ответ: $\frac{mn}{m^3+n^3}$