Номер 59, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 59, страница 21.

Условие.

59 Упростите выражение:

a) $ \frac{b}{b-1} - \frac{b-2}{1-b} $;

б) $ \frac{4}{2a-1} + \frac{3-2a}{1-2a} $;

в) $ \frac{2c-5}{a-c} - \frac{c+5}{c-a} $;

г) $ \frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{3-x} $;

д) $ \frac{m}{m^2-4} - \frac{2}{4-m^2} $;

е) $ \frac{2x-1}{x-y} + \frac{x-1}{y-x} $.

Подсказка. В каждом случае примените один из способов, рассмотренных в упражнении 58, — наиболее удобный для данного случая.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{b}{b-1} - \frac{b-2}{1-b}$
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак знаменателя второй дроби, поменяв при этом знак перед дробью. Так как $1-b = -(b-1)$, получаем:
$\frac{b}{b-1} - \frac{b-2}{-(b-1)} = \frac{b}{b-1} + \frac{b-2}{b-1} = \frac{b+b-2}{b-1} = \frac{2b-2}{b-1}$
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:
$\frac{2(b-1)}{b-1} = 2$
Ответ: $2$.

б) $\frac{4}{2a-1} + \frac{3-2a}{1-2a}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $1-2a = -(2a-1)$, изменим знак знаменателя второй дроби и знак перед дробью:
$\frac{4}{2a-1} + \frac{3-2a}{-(2a-1)} = \frac{4}{2a-1} - \frac{3-2a}{2a-1} = \frac{4 - (3-2a)}{2a-1} = \frac{4-3+2a}{2a-1} = \frac{1+2a}{2a-1}$
Ответ: $\frac{2a+1}{2a-1}$.

в) $\frac{2c-5}{a-c} - \frac{c+5}{c-a}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $c-a = -(a-c)$, получаем:
$\frac{2c-5}{a-c} - \frac{c+5}{-(a-c)} = \frac{2c-5}{a-c} + \frac{c+5}{a-c} = \frac{2c-5+c+5}{a-c} = \frac{3c}{a-c}$
Ответ: $\frac{3c}{a-c}$.

г) $\frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{3-x}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $3-x = -(x-3)$, получаем:
$\frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{-(x-3)} = \frac{x^2}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{x^2-9}{x-3}$
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и сократим дробь:
$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$
Ответ: $x+3$.

д) $\frac{m}{m^2-4} - \frac{2}{4-m^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $4-m^2 = -(m^2-4)$, получаем:
$\frac{m}{m^2-4} - \frac{2}{-(m^2-4)} = \frac{m}{m^2-4} + \frac{2}{m^2-4} = \frac{m+2}{m^2-4}$
Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов и сократим дробь:
$\frac{m+2}{(m-2)(m+2)} = \frac{1}{m-2}$
Ответ: $\frac{1}{m-2}$.

е) $\frac{2x-1}{x-y} + \frac{x-1}{y-x}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $y-x = -(x-y)$, получаем:
$\frac{2x-1}{x-y} + \frac{x-1}{-(x-y)} = \frac{2x-1}{x-y} - \frac{x-1}{x-y} = \frac{(2x-1)-(x-1)}{x-y} = \frac{2x-1-x+1}{x-y} = \frac{x}{x-y}$
Ответ: $\frac{x}{x-y}$.