Номер 57, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 57, страница 20.

Условие.

57 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

а) $ \frac{4}{x} + \frac{20}{x^2 - 5x}$; $x = -19;$

б) $ \frac{n^2}{mn - m^2} - \frac{m}{n - m}$; $m = -0,5$; $n = 2,5$;

В) $ \frac{a}{a - c} - \frac{2ac - c^2}{a^2 - ac}$; $a = -100$; $c = -85$;

Г) $ \frac{y^2 + 4}{y^2 - 2y} - \frac{2}{y - 2}$; $y = \frac{1}{6}$;

Д) $ \frac{2}{a^2 + ab} + \frac{2}{b^2 + ab}$; $a = 0,25$; $b = 4$;

е) $ \frac{1}{xy - x^2} - \frac{1}{y^2 - xy}$; $x = -0,17$; $y = 100$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Сначала упростим выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.
Знаменатель второй дроби можно разложить на множители: $x^2 - 5x = x(x - 5)$.
Тогда выражение примет вид:
$\frac{4}{x} + \frac{20}{x(x - 5)} = \frac{4(x - 5)}{x(x - 5)} + \frac{20}{x(x - 5)} = \frac{4x - 20 + 20}{x(x - 5)} = \frac{4x}{x(x - 5)}$
Сократим дробь на $x$ (при условии, что $x \ne 0$):
$\frac{4}{x - 5}$
Теперь подставим значение $x = -19$:
$\frac{4}{-19 - 5} = \frac{4}{-24} = -\frac{1}{6}$
Ответ: $-\frac{1}{6}$

б) Упростим выражение. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $mn - m^2 = m(n - m)$.
Выражение примет вид:
$\frac{n^2}{m(n - m)} - \frac{m}{n - m}$
Приведем дроби к общему знаменателю $m(n - m)$:
$\frac{n^2}{m(n - m)} - \frac{m \cdot m}{m(n - m)} = \frac{n^2 - m^2}{m(n - m)}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $n^2 - m^2 = (n - m)(n + m)$:
$\frac{(n - m)(n + m)}{m(n - m)}$
Сократим дробь на $(n - m)$ (при условии, что $n \ne m$):
$\frac{n + m}{m}$
Подставим значения $m = -0,5$ и $n = 2,5$:
$\frac{2,5 + (-0,5)}{-0,5} = \frac{2}{-0,5} = -4$
Ответ: -4

в) Упростим выражение. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $a^2 - ac = a(a - c)$.
Выражение примет вид:
$\frac{a}{a - c} - \frac{2ac - c^2}{a(a - c)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $a(a - c)$:
$\frac{a \cdot a}{a(a - c)} - \frac{2ac - c^2}{a(a - c)} = \frac{a^2 - (2ac - c^2)}{a(a - c)} = \frac{a^2 - 2ac + c^2}{a(a - c)}$
Числитель является полным квадратом $(a-c)^2$:
$\frac{(a - c)^2}{a(a - c)}$
Сократим дробь на $(a - c)$ (при условии, что $a \ne c$):
$\frac{a - c}{a}$
Подставим значения $a = -100$ и $c = -85$:
$\frac{-100 - (-85)}{-100} = \frac{-100 + 85}{-100} = \frac{-15}{-100} = 0,15$
Ответ: 0,15

г) Упростим выражение. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $y^2 - 2y = y(y - 2)$.
$\frac{y^2 + 4}{y(y - 2)} - \frac{2}{y - 2}$
Приведем к общему знаменателю $y(y - 2)$:
$\frac{y^2 + 4}{y(y - 2)} - \frac{2y}{y(y - 2)} = \frac{y^2 + 4 - 2y}{y(y - 2)} = \frac{y^2 - 2y + 4}{y^2 - 2y}$
Выражение можно записать как $1 + \frac{4}{y^2 - 2y}$ или $1 + \frac{4}{y(y-2)}$.
Подставим значение $y = \frac{1}{6}$:
$1 + \frac{4}{\frac{1}{6}(\frac{1}{6} - 2)} = 1 + \frac{4}{\frac{1}{6}(\frac{1-12}{6})} = 1 + \frac{4}{\frac{1}{6}(-\frac{11}{6})} = 1 + \frac{4}{-\frac{11}{36}} = 1 - 4 \cdot \frac{36}{11} = 1 - \frac{144}{11} = \frac{11 - 144}{11} = -\frac{133}{11}$
Ответ: $-\frac{133}{11}$

д) Упростим выражение. Разложим знаменатели на множители: $a^2 + ab = a(a + b)$ и $b^2 + ab = b(b + a)$.
$\frac{2}{a(a + b)} + \frac{2}{b(a + b)}$
Общий знаменатель $ab(a + b)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{2b}{ab(a + b)} + \frac{2a}{ab(a + b)} = \frac{2b + 2a}{ab(a + b)} = \frac{2(b + a)}{ab(a + b)}$
Сократим дробь на $(a + b)$ (при условии, что $a \ne -b$):
$\frac{2}{ab}$
Подставим значения $a = 0,25$ и $b = 4$:
$\frac{2}{0,25 \cdot 4} = \frac{2}{1} = 2$
Ответ: 2

е) Упростим выражение. Разложим знаменатели на множители: $xy - x^2 = x(y - x)$ и $y^2 - xy = y(y - x)$.
$\frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)}$
Общий знаменатель $xy(y - x)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{y}{xy(y - x)} - \frac{x}{xy(y - x)} = \frac{y - x}{xy(y - x)}$
Сократим дробь на $(y - x)$ (при условии, что $y \ne x$):
$\frac{1}{xy}$
Подставим значения $x = -0,17$ и $y = 100$:
$\frac{1}{-0,17 \cdot 100} = \frac{1}{-17} = -\frac{1}{17}$
Ответ: $-\frac{1}{17}$