Номер 56, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 56, страница 20.

Условие.

56 а) $\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{2}{a+b}$;

б) $\frac{c^2 + 25}{c^2 - 25} - \frac{c}{c+5}$;

в) $\frac{2}{3a+2} + \frac{8}{9a^2 - 4}$;

г) $\frac{y^2}{y^2 - 2y + 1} - \frac{y}{y-1}$;

д) $\frac{a+b}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$;

е) $\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} - \frac{m-n}{m+n}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{2}{a + b}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{2a}{(a - b)(a + b)} - \frac{2}{a + b}$.
2. Общим знаменателем является выражение $(a - b)(a + b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(a - b)$:
$\frac{2a}{(a - b)(a + b)} - \frac{2(a - b)}{(a + b)(a - b)}$.
3. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:
$\frac{2a - 2(a - b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{2a - 2a + 2b}{(a - b)(a + b)} = \frac{2b}{(a - b)(a + b)}$.
4. Можно оставить знаменатель в разложенном виде или свернуть его обратно в разность квадратов.
Ответ: $\frac{2b}{a^2 - b^2}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{c^2 + 25}{c^2 - 25} - \frac{c}{c + 5}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $c^2 - 25 = (c - 5)(c + 5)$.
Выражение принимает вид: $\frac{c^2 + 25}{(c - 5)(c + 5)} - \frac{c}{c + 5}$.
2. Общий знаменатель — $(c - 5)(c + 5)$. Домножим вторую дробь на множитель $(c - 5)$:
$\frac{c^2 + 25}{(c - 5)(c + 5)} - \frac{c(c - 5)}{(c + 5)(c - 5)}$.
3. Выполним вычитание числителей:
$\frac{(c^2 + 25) - c(c - 5)}{(c - 5)(c + 5)} = \frac{c^2 + 25 - c^2 + 5c}{(c - 5)(c + 5)} = \frac{5c + 25}{(c - 5)(c + 5)}$.
4. Упростим числитель, вынеся общий множитель 5 за скобки, и сократим дробь:
$\frac{5(c + 5)}{(c - 5)(c + 5)} = \frac{5}{c - 5}$.
Ответ: $\frac{5}{c - 5}$

в) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{2}{3a + 2} + \frac{8}{9a^2 - 4}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $9a^2 - 4 = (3a)^2 - 2^2 = (3a - 2)(3a + 2)$.
Выражение принимает вид: $\frac{2}{3a + 2} + \frac{8}{(3a - 2)(3a + 2)}$.
2. Общий знаменатель — $(3a - 2)(3a + 2)$. Домножим первую дробь на $(3a - 2)$:
$\frac{2(3a - 2)}{(3a + 2)(3a - 2)} + \frac{8}{(3a - 2)(3a + 2)}$.
3. Выполним сложение числителей:
$\frac{2(3a - 2) + 8}{(3a - 2)(3a + 2)} = \frac{6a - 4 + 8}{(3a - 2)(3a + 2)} = \frac{6a + 4}{(3a - 2)(3a + 2)}$.
4. Упростим числитель, вынеся общий множитель 2 за скобки, и сократим дробь:
$\frac{2(3a + 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} = \frac{2}{3a - 2}$.
Ответ: $\frac{2}{3a - 2}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{y^2}{y^2 - 2y + 1} - \frac{y}{y - 1}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.
Выражение принимает вид: $\frac{y^2}{(y - 1)^2} - \frac{y}{y - 1}$.
2. Общий знаменатель — $(y - 1)^2$. Домножим вторую дробь на $(y - 1)$:
$\frac{y^2}{(y - 1)^2} - \frac{y(y - 1)}{(y - 1)(y - 1)} = \frac{y^2}{(y - 1)^2} - \frac{y(y - 1)}{(y - 1)^2}$.
3. Выполним вычитание числителей:
$\frac{y^2 - y(y - 1)}{(y - 1)^2} = \frac{y^2 - y^2 + y}{(y - 1)^2} = \frac{y}{(y - 1)^2}$.
Ответ: $\frac{y}{(y - 1)^2}$

д) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{a + b}{a - b} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{a + b}{a - b} - \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)}$.
2. Общий знаменатель — $(a - b)(a + b)$. Домножим первую дробь на $(a + b)$:
$\frac{(a + b)(a + b)}{(a - b)(a + b)} - \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)} - \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)}$.
3. Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)}$.
4. Запишем итоговый результат:
Ответ: $\frac{2ab}{a^2 - b^2}$

е) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} - \frac{m - n}{m + n}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.
Выражение принимает вид: $\frac{m^2 + n^2}{(m - n)(m + n)} - \frac{m - n}{m + n}$.
2. Общий знаменатель — $(m - n)(m + n)$. Домножим вторую дробь на $(m - n)$:
$\frac{m^2 + n^2}{(m - n)(m + n)} - \frac{(m - n)(m - n)}{(m + n)(m - n)} = \frac{m^2 + n^2}{(m - n)(m + n)} - \frac{(m - n)^2}{(m - n)(m + n)}$.
3. Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе по формуле квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:
$\frac{(m^2 + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2)}{(m - n)(m + n)} = \frac{m^2 + n^2 - m^2 + 2mn - n^2}{(m - n)(m + n)} = \frac{2mn}{(m - n)(m + n)}$.
4. Запишем итоговый результат:
Ответ: $\frac{2mn}{m^2 - n^2}$