Номер 52, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 52, страница 19.

Условие.

Выполните действия; в качестве образца используйте пример 3 из текста (52—53).

52 a) $ \frac{n - 1}{2n} - \frac{n + 1}{5n}$;$

б) $ \frac{2}{x} - \frac{1 + y}{xy}$;$

В) $ \frac{1}{y^3} + \frac{1 - y^2}{y^5}$;$

Г) $ \frac{1 - xz}{xyz} - \frac{1 - ax}{axy}$;$

Д) $ \frac{c + b}{bc^2} - \frac{c + b}{b^2c}$;$

е) $ \frac{1 + b}{abc} + \frac{1 - a}{a^2c}$.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{n-1}{2n} - \frac{n+1}{5n}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2n$ и $5n$ — это $10n$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $\frac{n-1}{2n}$ дополнительный множитель равен $10n / 2n = 5$. Для второй дроби $\frac{n+1}{5n}$ дополнительный множитель равен $10n / 5n = 2$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$\frac{5(n-1)}{5 \cdot 2n} - \frac{2(n+1)}{2 \cdot 5n} = \frac{5n-5}{10n} - \frac{2n+2}{10n}$
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(5n-5) - (2n+2)}{10n} = \frac{5n-5-2n-2}{10n} = \frac{3n-7}{10n}$

Ответ: $\frac{3n-7}{10n}$

б)

Выполним вычитание дробей $\frac{2}{x} - \frac{1+y}{xy}$. Общий знаменатель для $x$ и $xy$ — это $xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2}{x}$ равен $xy/x = y$. Вторая дробь уже имеет общий знаменатель.
Приведем первую дробь к общему знаменателю:
$\frac{2 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{1+y}{xy} = \frac{2y}{xy} - \frac{1+y}{xy}$
Выполним вычитание:
$\frac{2y - (1+y)}{xy} = \frac{2y-1-y}{xy} = \frac{y-1}{xy}$

Ответ: $\frac{y-1}{xy}$

в)

Выполним сложение дробей $\frac{1}{y^3} + \frac{1-y^2}{y^5}$. Общий знаменатель для $y^3$ и $y^5$ — это $y^5$ (наибольшая степень).
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{y^3}$ равен $y^5/y^3 = y^2$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю:
$\frac{1 \cdot y^2}{y^3 \cdot y^2} + \frac{1-y^2}{y^5} = \frac{y^2}{y^5} + \frac{1-y^2}{y^5}$
Выполним сложение:
$\frac{y^2 + (1-y^2)}{y^5} = \frac{y^2+1-y^2}{y^5} = \frac{1}{y^5}$

Ответ: $\frac{1}{y^5}$

г)

Выполним вычитание дробей $\frac{1-xz}{xyz} - \frac{1-ax}{axy}$. Общий знаменатель для $xyz$ и $axy$ — это $axyz$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1-xz}{xyz}$ равен $axyz/xyz = a$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1-ax}{axy}$ равен $axyz/axy = z$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{a(1-xz)}{axyz} - \frac{z(1-ax)}{axyz} = \frac{a-axz}{axyz} - \frac{z-axz}{axyz}$
Выполним вычитание:
$\frac{(a-axz) - (z-axz)}{axyz} = \frac{a-axz-z+axz}{axyz} = \frac{a-z}{axyz}$

Ответ: $\frac{a-z}{axyz}$

д)

Выполним вычитание дробей $\frac{c+b}{bc^2} - \frac{c+b}{b^2c}$. Общий знаменатель для $bc^2$ и $b^2c$ — это $b^2c^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{c+b}{bc^2}$ равен $b^2c^2/bc^2 = b$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{c+b}{b^2c}$ равен $b^2c^2/b^2c = c$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{b(c+b)}{b^2c^2} - \frac{c(c+b)}{b^2c^2} = \frac{bc+b^2}{b^2c^2} - \frac{c^2+bc}{b^2c^2}$
Выполним вычитание:
$\frac{(bc+b^2) - (c^2+bc)}{b^2c^2} = \frac{bc+b^2-c^2-bc}{b^2c^2} = \frac{b^2-c^2}{b^2c^2}$

Ответ: $\frac{b^2-c^2}{b^2c^2}$

е)

Выполним сложение дробей $\frac{1+b}{abc} + \frac{1-a}{a^2c}$. Общий знаменатель для $abc$ и $a^2c$ — это $a^2bc$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1+b}{abc}$ равен $a^2bc/abc = a$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1-a}{a^2c}$ равен $a^2bc/a^2c = b$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{a(1+b)}{a^2bc} + \frac{b(1-a)}{a^2bc} = \frac{a+ab}{a^2bc} + \frac{b-ab}{a^2bc}$
Выполним сложение:
$\frac{(a+ab) + (b-ab)}{a^2bc} = \frac{a+ab+b-ab}{a^2bc} = \frac{a+b}{a^2bc}$

Ответ: $\frac{a+b}{a^2bc}$