Номер 47, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 47, страница 18.

Условие.

47 a) $\frac{4a+1}{3a-3} - \frac{a+1}{3a-3}$

Б) $\frac{3a+2b}{a+b} + \frac{2a+3b}{a+b}$

В) $\frac{x+a}{a-5} - \frac{x+5}{a-5}$

Г) $\frac{2mn}{m^2-n^2} + \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$

Д) $\frac{k^2+k}{k^2-9} - \frac{7k-9}{k^2-9}$

е) $\frac{2a^2}{a^2-4a+4} - \frac{a^2+4}{a^2-4a+4}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{4a+1}{3a-3} - \frac{a+1}{3a-3}$
Так как знаменатели дробей одинаковы, то, чтобы найти разность дробей, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.
$\frac{4a+1 - (a+1)}{3a-3} = \frac{4a+1 - a - 1}{3a-3} = \frac{3a}{3a-3}$
Теперь упростим полученную дробь. Вынесем в знаменателе общий множитель 3 за скобки:
$\frac{3a}{3(a-1)}$
Сократим дробь на 3:
$\frac{a}{a-1}$
Ответ: $\frac{a}{a-1}$

б) $\frac{3a+2b}{a+b} + \frac{2a+3b}{a+b}$
Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители, а знаменатель оставим без изменений.
$\frac{3a+2b + 2a+3b}{a+b} = \frac{(3a+2a) + (2b+3b)}{a+b} = \frac{5a+5b}{a+b}$
Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки:
$\frac{5(a+b)}{a+b}$
Сократим дробь на выражение $(a+b)$:
$5$
Ответ: $5$

в) $\frac{x+a}{a-5} - \frac{x+5}{a-5}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители.
$\frac{x+a - (x+5)}{a-5} = \frac{x+a - x - 5}{a-5} = \frac{a-5}{a-5}$
Так как числитель и знаменатель равны (при условии, что $a \neq 5$), то дробь равна 1.
$1$
Ответ: $1$

г) $\frac{2mn}{m^2-n^2} + \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$
Складываем числители, так как знаменатели одинаковы.
$\frac{2mn + m^2+n^2}{m^2-n^2} = \frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2}$
В числителе используем формулу квадрата суммы: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$. В знаменателе используем формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$\frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(m+n)$:
$\frac{m+n}{m-n}$
Ответ: $\frac{m+n}{m-n}$

д) $\frac{k^2+k}{k^2-9} - \frac{7k-9}{k^2-9}$
Вычитаем числители, так как знаменатели одинаковы.
$\frac{k^2+k - (7k-9)}{k^2-9} = \frac{k^2+k - 7k + 9}{k^2-9} = \frac{k^2-6k+9}{k^2-9}$
В числителе применяем формулу квадрата разности: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. В знаменателе применяем формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$\frac{(k-3)^2}{(k-3)(k+3)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(k-3)$:
$\frac{k-3}{k+3}$
Ответ: $\frac{k-3}{k+3}$

е) $\frac{2a^2}{a^2-4a+4} - \frac{a^2+4}{a^2-4a+4}$
Вычитаем числители, так как знаменатели одинаковы.
$\frac{2a^2 - (a^2+4)}{a^2-4a+4} = \frac{2a^2 - a^2 - 4}{a^2-4a+4} = \frac{a^2-4}{a^2-4a+4}$
В числителе используем формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. В знаменателе используем формулу квадрата разности: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
$\frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)^2}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(a-2)$:
$\frac{a+2}{a-2}$
Ответ: $\frac{a+2}{a-2}$