Номер 150, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 150, страница 43.

Условие.

150 а) $ \frac{x^{-10}x^5}{x^6} $;

б) $ a^8(a^{-4})^3 $;

в) $ (m^{-3}m^8)^{-2} $;

г) $ \left(\frac{y^4}{y^{-1}y^{-2}}\right)^4 $;

д) $ \frac{(c^7c^{-2})^{-3}}{c^{-8}} $;

е) $ (p^{-4})^2 \cdot (p^{-3})^{-2} $;

ж) $ \left(\frac{n^4}{n^{-7}}\right)^{-2} \cdot n^{-5} $;

з) $ (2b^{-3} \cdot 5b^2)^{-2} $;

и) $ \left(\frac{3}{x^{-3}} \cdot \frac{x^3}{6}\right)^{-1} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^{-10}x^5}{x^6}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^{-10}x^5 = x^{-10+5} = x^{-5}$
2. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^{-5}}{x^6} = x^{-5-6} = x^{-11}$
Ответ: $x^{-11}$.

б) Чтобы упростить выражение $a^8(a^{-4})^3$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала возведем степень в степень по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(a^{-4})^3 = a^{-4 \cdot 3} = a^{-12}$
2. Затем умножим результат на $a^8$ по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a^8 \cdot a^{-12} = a^{8+(-12)} = a^{8-12} = a^{-4}$
Ответ: $a^{-4}$.

в) Чтобы упростить выражение $(m^{-3}m^8)^{-2}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала выполним действие в скобках, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$m^{-3}m^8 = m^{-3+8} = m^5$
2. Затем возведем результат в степень -2 по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(m^5)^{-2} = m^{5 \cdot (-2)} = m^{-10}$
Ответ: $m^{-10}$.

г) Чтобы упростить выражение $(\frac{y^4}{y^{-1}y^{-2}})^4$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим знаменатель дроби в скобках: $y^{-1}y^{-2} = y^{-1+(-2)} = y^{-3}$.
2. Упростим дробь в скобках, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{y^4}{y^{-3}} = y^{4-(-3)} = y^{4+3} = y^7$
3. Возведем результат в степень 4 по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(y^7)^4 = y^{7 \cdot 4} = y^{28}$
Ответ: $y^{28}$.

д) Чтобы упростить выражение $\frac{(c^7c^{-2})^{-3}}{c^{-8}}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим выражение в скобках в числителе: $c^7c^{-2} = c^{7+(-2)} = c^5$.
2. Возведем полученное выражение в степень -3: $(c^5)^{-3} = c^{5 \cdot (-3)} = c^{-15}$.
3. Разделим результат на знаменатель:
$\frac{c^{-15}}{c^{-8}} = c^{-15-(-8)} = c^{-15+8} = c^{-7}$
Ответ: $c^{-7}$.

е) Чтобы упростить выражение $(p^{-4})^2 \cdot (p^{-3})^{-2}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим каждый множитель отдельно по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(p^{-4})^2 = p^{-4 \cdot 2} = p^{-8}$
$(p^{-3})^{-2} = p^{-3 \cdot (-2)} = p^6$
2. Перемножим полученные выражения:
$p^{-8} \cdot p^6 = p^{-8+6} = p^{-2}$
Ответ: $p^{-2}$.

ж) Чтобы упростить выражение $(\frac{n^4}{n^{-7}})^{-2} \cdot n^{-5}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим дробь в скобках: $\frac{n^4}{n^{-7}} = n^{4-(-7)} = n^{4+7} = n^{11}$.
2. Возведем результат в степень -2: $(n^{11})^{-2} = n^{11 \cdot (-2)} = n^{-22}$.
3. Умножим полученное выражение на $n^{-5}$:
$n^{-22} \cdot n^{-5} = n^{-22+(-5)} = n^{-27}$
Ответ: $n^{-27}$.

з) Чтобы упростить выражение $(2b^{-3} \cdot 5b^2)^{-2}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим выражение в скобках, сгруппировав числовые коэффициенты и переменные:
$(2 \cdot 5) \cdot (b^{-3} \cdot b^2) = 10 \cdot b^{-3+2} = 10b^{-1}$
2. Теперь возведем результат в степень -2, используя правило $(ab)^n=a^nb^n$:
$(10b^{-1})^{-2} = 10^{-2} \cdot (b^{-1})^{-2} = \frac{1}{10^2} \cdot b^{(-1) \cdot (-2)} = \frac{1}{100}b^2$
Ответ: $\frac{1}{100}b^2$.

и) Чтобы упростить выражение $(\frac{3}{x^{-3}} \cdot \frac{x^3}{6})^{-1}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Перемножим дроби внутри скобок:
$\frac{3 \cdot x^3}{x^{-3} \cdot 6}$
2. Упростим числовые коэффициенты и степени с основанием $x$ по отдельности:
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{x^3}{x^{-3}} = x^{3-(-3)} = x^{3+3} = x^6$
3. Выражение в скобках равно $\frac{1}{2}x^6$ или $\frac{x^6}{2}$.
4. Возведем результат в степень -1, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$:
$(\frac{x^6}{2})^{-1} = \frac{2}{x^6}$
Ответ: $\frac{2}{x^6}$.