Номер 151, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 151, страница 43.

Условие.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (151–155)

151 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{5^{-10}}{5^{-3} \cdot 5^{-5}} $;

б) $ \frac{12^3 \cdot 12^{-7}}{12^{-9}} $;

в) $ 10^{-12} \cdot (10^{-5})^{-2} $;

г) $ (3^{-20} \cdot 3^{21})^{-3} $;

д) $ \frac{(7^{-2})^3}{7^{-4}} $;

е) $ \frac{2^{-15}}{(2^5)^{-4}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для нахождения значения выражения используем свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
Сначала упростим знаменатель: $5^{-3} \cdot 5^{-5} = 5^{-3+(-5)} = 5^{-8}$.
Затем выполним деление: $ \frac{5^{-10}}{5^{-8}} = 5^{-10 - (-8)} = 5^{-10+8} = 5^{-2} $.
Вычислим результат: $ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

б) Сначала упростим числитель, сложив показатели степеней: $12^{-3} \cdot 12^{-7} = 12^{-3+(-7)} = 12^{-10}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели: $\frac{12^{-10}}{12^{-9}} = 12^{-10 - (-9)} = 12^{-10+9} = 12^{-1}$.
Вычислим результат: $12^{-1} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

в) При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
Упростим второй множитель: $(10^{-5})^{-2} = 10^{-5 \cdot (-2)} = 10^{10}$.
Теперь перемножим степени, сложив их показатели: $10^{-12} \cdot 10^{10} = 10^{-12+10} = 10^{-2}$.
Вычислим результат: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{100}$.

г) Сначала выполним операцию в скобках, сложив показатели степеней: $3^{-20} \cdot 3^{21} = 3^{-20+21} = 3^1 = 3$.
Затем возведем результат в степень, перемножив показатели: $(3^1)^{-3} = 3^{1 \cdot (-3)} = 3^{-3}$.
Вычислим результат: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$.

д) Сначала упростим числитель, перемножив показатели степеней: $(7^{-2})^3 = 7^{-2 \cdot 3} = 7^{-6}$.
Затем выполним деление, вычитая показатели: $\frac{7^{-6}}{7^{-4}} = 7^{-6 - (-4)} = 7^{-6+4} = 7^{-2}$.
Вычислим результат: $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$.

е) Сначала упростим знаменатель, перемножив показатели степеней: $(2^5)^{-4} = 2^{5 \cdot (-4)} = 2^{-20}$.
Затем выполним деление, вычитая показатели: $\frac{2^{-15}}{2^{-20}} = 2^{-15 - (-20)} = 2^{-15+20} = 2^5$.
Вычислим результат: $2^5 = 32$.
Ответ: $32$.