Номер 158, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 158, страница 45.

Условие.

158 Известно, что $2^n = a$. Выразите через $a$:

а) $2^{n+1}$;

б) $2^{n+2}$;

в) $2^{2n+1}$;

г) $2^{n-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы выразить $2^{n+1}$ через $a$, воспользуемся свойством степеней о произведении степеней с одинаковым основанием: $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$.
Применим это свойство к нашему выражению: $2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1$.
По условию задачи нам известно, что $2^n = a$. Подставим это значение в полученное выражение:
$2^n \cdot 2^1 = a \cdot 2 = 2a$.
Ответ: $2a$.

б) Аналогично пункту а), для выражения $2^{n+2}$ через $a$ используем свойство $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$.
$2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2$.
Зная, что $2^n = a$ и $2^2 = 4$, мы можем выполнить подстановку:
$2^n \cdot 2^2 = a \cdot 4 = 4a$.
Ответ: $4a$.

в) Чтобы выразить $2^{2n+1}$ через $a$, нам понадобятся два свойства степеней: свойство произведения степеней ($x^{m+k} = x^m \cdot x^k$) и свойство возведения степени в степень ($x^{m \cdot k} = (x^m)^k$).
Сначала представим $2^{2n+1}$ как произведение: $2^{2n+1} = 2^{2n} \cdot 2^1$.
Теперь преобразуем множитель $2^{2n}$, используя второе свойство: $2^{2n} = 2^{n \cdot 2} = (2^n)^2$.
По условию $2^n = a$, следовательно, $(2^n)^2 = a^2$.
Теперь соберем все вместе: $2^{2n+1} = (2^n)^2 \cdot 2^1 = a^2 \cdot 2 = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

г) Для выражения $2^{n-1}$ через $a$ используем свойство степеней о частном степеней с одинаковым основанием: $x^{m-k} = \frac{x^m}{x^k}$.
Применим это свойство: $2^{n-1} = \frac{2^n}{2^1}$.
Подставляем известное из условия значение $2^n = a$:
$\frac{2^n}{2^1} = \frac{a}{2}$.
Ответ: $\frac{a}{2}$.