Номер 160, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 160, страница 45.

Условие.

160 a) $\frac{a^{-1} + a^{-2} + a^{-3}}{a^{3} + a^{2} + a}$

б) $\frac{1 + d^{3} + d^{5}}{d^{-6} + d^{-3} + d^{-1}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы упростить данное выражение, преобразуем числитель и знаменатель дроби, вынеся общий множитель за скобки.
Исходное выражение: $ \frac{a^{-1} + a^{-2} + a^{-3}}{a^3 + a^2 + a} $.
В числителе вынесем за скобки член с наименьшей степенью, то есть $a^{-3}$:
$a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} = a^{-3}(a^2 + a^1 + 1) = a^{-3}(a^2 + a + 1)$.
В знаменателе вынесем за скобки член с наименьшей степенью, то есть $a$:
$a^3 + a^2 + a = a(a^2 + a + 1)$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \frac{a^{-3}(a^2 + a + 1)}{a(a^2 + a + 1)} $.
Сократим общий множитель $(a^2 + a + 1)$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{a^{-3}}{a} $.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$ a^{-3-1} = a^{-4} $.
Ответ: $a^{-4}$.

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{1 + d^3 + d^5}{d^{-6} + d^{-3} + d^{-1}} $.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки член с наименьшим показателем степени, то есть $d^{-6}$:
$d^{-6} + d^{-3} + d^{-1} = d^{-6}(1 + d^{-3 - (-6)} + d^{-1 - (-6)}) = d^{-6}(1 + d^3 + d^5)$.
Теперь подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{1 + d^3 + d^5}{d^{-6}(1 + d^3 + d^5)} $.
Сократим общий множитель $(1 + d^3 + d^5)$:
$ \frac{1}{d^{-6}} $.
По определению степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, следовательно, $ \frac{1}{d^{-6}} = d^6 $.
Ответ: $d^6$.