Номер 152, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 152, страница 43.

Условие.

152 Вычислите:

а) $125 \cdot 5^{-4}$;

б) $100^3 \cdot 10^{-8}$;

в) $16^{-2} : 2^{-5}$;

г) $(27^2 \cdot 3^{-8})^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $125 \cdot 5^{-4}$

Для вычисления данного выражения представим число 125 как степень числа 5. Известно, что $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $125 \cdot 5^{-4} = 5^3 \cdot 5^{-4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3 + (-4)} = 5^{3-4} = 5^{-1}$.

Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на степень с положительным показателем, согласно свойству $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) $100^3 \cdot 10^{-8}$

Представим число 100 как степень числа 10: $100 = 10^2$.

Подставим это значение в выражение и воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $100^3 \cdot 10^{-8} = (10^2)^3 \cdot 10^{-8} = 10^{2 \cdot 3} \cdot 10^{-8} = 10^6 \cdot 10^{-8}$.

Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^6 \cdot 10^{-8} = 10^{6 + (-8)} = 10^{6-8} = 10^{-2}$.

Вычислим значение степени с отрицательным показателем: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$.

Ответ: $\frac{1}{100}$.

в) $16^{-2} : 2^{-5}$

Представим число 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.

Подставим это значение в выражение и используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $16^{-2} : 2^{-5} = (2^4)^{-2} : 2^{-5} = 2^{4 \cdot (-2)} : 2^{-5} = 2^{-8} : 2^{-5}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$: $2^{-8} : 2^{-5} = 2^{-8 - (-5)} = 2^{-8+5} = 2^{-3}$.

Вычислим значение полученной степени: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

г) $(27^2 \cdot 3^{-8})^{-1}$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это значение в выражение в скобках: $27^2 \cdot 3^{-8} = (3^3)^2 \cdot 3^{-8}$.

Возведем степень в степень: $(3^3)^2 \cdot 3^{-8} = 3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{-8} = 3^6 \cdot 3^{-8}$.

Умножим степени с одинаковым основанием: $3^6 \cdot 3^{-8} = 3^{6-8} = 3^{-2}$.

Теперь возведем полученный результат в степень -1, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^{-2})^{-1} = 3^{-2 \cdot (-1)} = 3^2$.

Вычислим итоговое значение: $3^2 = 9$.

Ответ: $9$.