Номер 195, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 195, страница 55.

Условие.

195 Докажите:

если каждое из чисел $a$ и $b$ делится на число $c$, то и их разность $a-b$ делится на $c$;

если каждое из чисел $a-b$ и $b$ делится на число $c$, то и число $a$ делится на $c$.

Теперь у вас доказана теорема:

числа $a-b$ и $b$ имеют те же общие делители, что и числа $a$ и $b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

если каждое из чисел a и b делится на число c, то и их разность a - b делится на c;

Пусть число a делится на c и число b делится на c. По определению делимости, это означает, что существуют такие целые числа k и m, для которых выполняются равенства: $a = k \cdot c$ и $b = m \cdot c$. Рассмотрим их разность $a - b$. Подставив выражения для a и b, получим: $a - b = k \cdot c - m \cdot c$. Теперь вынесем общий множитель c за скобки: $a - b = (k - m) \cdot c$. Поскольку k и m — целые числа, их разность $(k - m)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $p$. Тогда получаем $a - b = p \cdot c$. Согласно определению делимости, это означает, что разность $a - b$ делится на c. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

если каждое из чисел a - b и b делится на число c, то и число a делится на c.

Пусть число $a - b$ делится на c и число b также делится на c. По определению делимости, это означает, что существуют такие целые числа n и q, для которых выполняются равенства: $a - b = n \cdot c$ и $b = q \cdot c$. Выразим число a через сумму: $a = (a - b) + b$. Подставим в это равенство известные нам выражения: $a = n \cdot c + q \cdot c$. Теперь вынесем общий множитель c за скобки: $a = (n + q) \cdot c$. Поскольку n и q — целые числа, их сумма $(n + q)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как r. Тогда получаем $a = r \cdot c$. Согласно определению делимости, это означает, что число a делится на c. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Эти два доказанных утверждения вместе доказывают указанную в задаче теорему: числа $a - b$ и $b$ имеют те же общие делители, что и числа $a$ и $b$.

Это следует из того, что:
1. Любой общий делитель c чисел a и b, согласно первому доказанному пункту, является делителем разности $a - b$, и, следовательно, является общим делителем для чисел $a - b$ и b.
2. Любой общий делитель c чисел $a - b$ и b, согласно второму доказанному пункту, является делителем суммы $(a-b)+b=a$, и, следовательно, является общим делителем для чисел a и b.

Таким образом, множество всех общих делителей для пары чисел $(a, b)$ в точности совпадает с множеством всех общих делителей для пары чисел $(a - b, b)$.