Номер 207, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 207, страница 56.

Условие.

207 а) $\frac{3a + b}{a + b} + \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} \cdot \left(\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}\right);$

б) $\frac{1 - 2b^2 - 2ab}{b^2 - a^2} + \left(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + b^3} - \frac{b^3 - a^3}{a^2 - ab + b^2}\right) \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3}.$

Совет. Сначала раскройте скобки, применив распределительное свойство, тогда преобразования окажутся проще.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Исходное выражение: $ \frac{3a + b}{a + b} + \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} \cdot \left(\frac{a}{(a-b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}\right) $

Следуя совету, раскроем скобки, применив распределительное свойство. Для этого умножим дробь $ \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} $ на каждое слагаемое в скобках. Предварительно заметим, что числитель $ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $ и знаменатель $ b^2 - a^2 = -(a^2-b^2) = -(a-b)(a+b) $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{3a + b}{a + b} + \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{(a-b)^2} + \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{b^2 - a^2} $

Теперь упростим второе и третье слагаемые.

Второе слагаемое:

$ \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{(a-b)^2} = 1 $

Третье слагаемое:

$ \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{b^2 - a^2} = \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{-(a-b)(a+b)} = -\frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = -\frac{a-b}{a+b} $

Подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:

$ \frac{3a + b}{a + b} + 1 - \frac{a-b}{a+b} $

Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем $ (a+b) $:

$ \left(\frac{3a + b}{a + b} - \frac{a-b}{a+b}\right) + 1 = \frac{(3a+b) - (a-b)}{a+b} + 1 $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные:

$ \frac{3a + b - a + b}{a+b} + 1 = \frac{2a + 2b}{a+b} + 1 $

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$ \frac{2(a+b)}{a+b} + 1 = 2 + 1 = 3 $

Ответ: 3.

б)

Исходное выражение: $ \frac{1 - 2b^2 - 2ab}{b^2 - a^2} + \left(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + b^3} - \frac{b^3 - a^3}{a^2 - ab + b^2}\right) \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} $

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся распределительным свойством и раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в них на $ \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} $.

$ \frac{1 - 2b^2 - 2ab}{b^2 - a^2} + \frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + b^3} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} - \frac{b^3 - a^3}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} $

Упростим получившиеся произведения дробей. Для этого используем формулы суммы и разности кубов: $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ и $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Первое произведение:

$ \frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + b^3} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} = \frac{a^2 + ab + b^2}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{(a-b)(a^2 + ab + b^2)} $

Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях:

$ \frac{\cancel{a^2 + ab + b^2}}{(a+b)(\cancel{a^2 - ab + b^2})} \cdot \frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{(a-b)(\cancel{a^2 + ab + b^2})} = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{1}{a^2-b^2} $

Второе произведение:

$ \frac{b^3 - a^3}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} = \frac{b^3-a^3}{\cancel{a^2 - ab + b^2}} \cdot \frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{a^3 - b^3} = \frac{b^3-a^3}{a^3-b^3} = \frac{-(a^3-b^3)}{a^3-b^3} = -1 $

Подставим результаты в выражение:

$ \frac{1 - 2b^2 - 2ab}{b^2 - a^2} + \frac{1}{a^2-b^2} - (-1) $

Заметим, что $ b^2 - a^2 = -(a^2-b^2) $. Тогда:

$ \frac{1 - 2b^2 - 2ab}{-(a^2-b^2)} + \frac{1}{a^2-b^2} + 1 = -\frac{1 - 2b^2 - 2ab}{a^2-b^2} + \frac{1}{a^2-b^2} + 1 $

Объединим дроби:

$ \frac{-(1 - 2b^2 - 2ab) + 1}{a^2-b^2} + 1 = \frac{-1 + 2b^2 + 2ab + 1}{a^2-b^2} + 1 = \frac{2b^2 + 2ab}{a^2-b^2} + 1 $

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$ \frac{2b(b+a)}{(a-b)(a+b)} + 1 $

Сократим дробь на $ (a+b) $:

$ \frac{2b}{a-b} + 1 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2b}{a-b} + \frac{a-b}{a-b} = \frac{2b+a-b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} $

Ответ: $ \frac{a+b}{a-b} $.