Номер 218, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 218, страница 58.

Условие.

218 Моторная лодка прошла по течению реки от одной деревни до другой. На обратном пути она сделала остановку, не дойдя до места отправления 12 км. До остановки она двигалась столько же времени, сколько у нее занял путь по течению. Чему равно расстояние между деревнями, если известно, что собственная скорость лодки $12 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $S$ — искомое расстояние между деревнями в километрах.

1. Нахождение скоростей движения лодки.
Собственная скорость лодки ($v_{л}$) равна 12 км/ч, а скорость течения реки ($v_{т}$) — 3 км/ч.
Скорость лодки при движении по течению реки вычисляется как сумма собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{по\;течению} = v_{л} + v_{т} = 12 + 3 = 15$ км/ч.
Скорость лодки при движении против течения реки вычисляется как разность собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{против\;течения} = v_{л} - v_{т} = 12 - 3 = 9$ км/ч.

2. Составление уравнения на основе времени движения.
Время, которое лодка затратила на путь по течению от одной деревни до другой (расстояние $S$), составляет:
$t_{по\;течению} = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{S}{15}$ часов.
На обратном пути лодка остановилась, не дойдя до места отправления 12 км. Следовательно, расстояние, которое она прошла против течения, равно $S - 12$ км.
Время, затраченное на этот путь, составляет:
$t_{против\;течения} = \frac{S - 12}{v_{против\;течения}} = \frac{S - 12}{9}$ часов.
Согласно условию задачи, время движения по течению равно времени движения на обратном пути до остановки:
$t_{по\;течению} = t_{против\;течения}$
Приравнивая выражения для времени, получаем уравнение:
$\frac{S}{15} = \frac{S - 12}{9}$

3. Решение уравнения.
Для решения данного уравнения найдем наименьшее общее кратное знаменателей 15 и 9. Оно равно 45. Умножим обе части уравнения на 45:
$45 \cdot \frac{S}{15} = 45 \cdot \frac{S - 12}{9}$
$3 \cdot S = 5 \cdot (S - 12)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$3S = 5S - 60$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $S$, в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$60 = 5S - 3S$
$60 = 2S$
Теперь найдем $S$, разделив обе части на 2:
$S = \frac{60}{2}$
$S = 30$
Таким образом, расстояние между деревнями составляет 30 км.

Ответ: 30 км.