Страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

224 На рисунке $1.7$ представлены десять крупнейших стран мира по численности населения (млн человек). Рассмотрите диаграмму и ответьте на вопросы:

Китай: $1339$ млн человек

Индия: $1188$ млн человек

США: $310$ млн человек

Индонезия: $238$ млн человек

Бразилия: $193$ млн человек

Пакистан: $171$ млн человек

Бангладеш: $164$ млн человек

Нигерия: $158$ млн человек

Россия: $142$ млн человек

Япония: $127$ млн человек

Рис. $1.7$

а) Какое место по численности населения занимает Россия?

б) Численность каких государств составляет более $200$ млн человек?

в) Какова численность населения Китая?

г) Численность населения какого государства примерно в $10$ раз меньше численности населения Китая?

д) Какой примерно процент численности населения Китая составляет численность населения России?

а) Какое место по численности населения занимает Россия?

Чтобы определить место России, нужно посмотреть на ее положение среди других стран, упорядоченных по убыванию численности населения на диаграмме. Страны перечислены слева направо в порядке убывания населения. Посчитав столбцы слева направо, мы видим, что Россия находится на 9-й позиции.
Ответ: Россия занимает 9-е место по численности населения.

б) Численность каких государств составляет более 200 млн человек?

Рассмотрим значения численности населения, указанные над каждым столбцом диаграммы, и выберем те, которые больше 200.
- Китай: 1339 млн
- Индия: 1188 млн
- США: 310 млн
- Индонезия: 238 млн
Все эти значения превышают 200 млн. Следующая страна, Бразилия, имеет население 193 млн, что меньше 200 млн.
Ответ: Китай, Индия, США, Индонезия.

в) Какова численность населения Китая?

На диаграмме находим столбец, соответствующий Китаю. Над ним указано числовое значение его населения в миллионах человек.
Ответ: Численность населения Китая составляет 1339 млн человек.

г) Численность населения какого государства примерно в 10 раз меньше численности населения Китая?

Сначала вычислим, какая численность населения была бы в 10 раз меньше, чем у Китая. Население Китая — 1339 млн человек.
$1339 \div 10 = 133.9$ млн человек.
Теперь сравним это значение с численностью населения стран из списка, близких к этому показателю:
- Россия: 142 млн человек. Разница с 133.9 млн составляет $|142 - 133.9| = 8.1$ млн.
- Япония: 127 млн человек. Разница с 133.9 млн составляет $|127 - 133.9| = 6.9$ млн.
Население Японии (127 млн) ближе к искомому значению (133.9 млн). Проверим также через отношение:
$1339 \div 127 \approx 10.54$, что очень близко к 10.
Ответ: Япония.

д) Какой примерно процент численности населения Китая составляет численность населения России?

Чтобы найти, какой процент составляет население России от населения Китая, нужно разделить численность населения России на численность населения Китая и умножить на 100%.
Население Китая = 1339 млн.
Население России = 142 млн.
Расчет: $(\frac{142}{1339}) \times 100\% \approx 0.106049 \times 100\% \approx 10.6\%$.
Округлив до целых, получаем примерно 11%.
Ответ: примерно 10.6% (или около 11%).

1 Укажите числа, которые не входят во множество допустимых значений переменной дроби:

а) $ \frac{2x-3}{x+8} $,

б) $ \frac{a-1}{a^2} $.

Какие числа нельзя подставлять вместо букв в алгебраическую дробь?

В алгебраическую дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в ноль, так как деление на ноль является неопределенной операцией. Множество допустимых значений (ОДЗ) переменной — это все значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Чтобы найти числа, которые не входят в это множество, необходимо приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

a) Рассмотрим дробь $\frac{2x - 3}{x + 8}$.
Знаменатель этой дроби равен $x + 8$. Найдем значение переменной $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x + 8 = 0$
$x = -8$
Таким образом, число -8 не входит во множество допустимых значений переменной для данной дроби.
Ответ: -8.

б) Рассмотрим дробь $\frac{a - 1}{a^2}$.
Знаменатель этой дроби равен $a^2$. Найдем значение переменной $a$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$a^2 = 0$
$a = 0$
Таким образом, число 0 не входит во множество допустимых значений переменной для данной дроби.
Ответ: 0.

2 Сформулируйте основное свойство дроби. Примените его для приведения дроби $\frac{a}{a+b}$ к знаменателю $ab + b^2$.

Сформулируйте основное свойство дроби.

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число или выражение, то получится равная ей дробь.
В виде формулы это можно записать так:
$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $ и $ \frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C} $, где $ B \neq 0 $ и $ C \neq 0 $.

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение (число), то получится равная ей дробь.

Примените его для приведения дроби $ \frac{a}{a+b} $ к знаменателю $ ab + b^2 $.

Чтобы привести дробь $ \frac{a}{a+b} $ к новому знаменателю $ ab + b^2 $, необходимо найти дополнительный множитель, на который нужно умножить исходные числитель и знаменатель.

1. Разложим новый знаменатель на множители. Для этого вынесем общий множитель $b$ за скобки:
$ ab + b^2 = b(a+b) $.

2. Сравним исходный знаменатель $ (a+b) $ с новым $ b(a+b) $. Видно, что исходный знаменатель нужно домножить на $b$, чтобы получить новый. Следовательно, дополнительный множитель равен $b$.

3. Применим основное свойство дроби: умножим и числитель, и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $b$ (при условии, что $b \neq 0$ и $a+b \neq 0$):
$ \frac{a}{a+b} = \frac{a \cdot b}{(a+b) \cdot b} = \frac{ab}{ab + b^2} $.

Таким образом, мы привели дробь к требуемому знаменателю.

Ответ: $ \frac{ab}{ab + b^2} $.

3 Объясните, как сократить дробь $\frac{m - mn}{m^2 - mn}$.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{m-mn}{m^2-mn}$, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители и затем сократить на общие множители.

1. Разложим числитель на множители.
В выражении $m-mn$ общий множитель для обоих членов — это $m$. Вынесем его за скобки:
$m - mn = m \cdot 1 - m \cdot n = m(1 - n)$

2. Разложим знаменатель на множители.
В выражении $m^2 - mn$ общий множитель — это также $m$. Вынесем его за скобки:
$m^2 - mn = m \cdot m - m \cdot n = m(m - n)$

3. Подставим полученные выражения в дробь и выполним сокращение.
Теперь дробь можно записать в виде:
$\frac{m-mn}{m^2-mn} = \frac{m(1-n)}{m(m-n)}$
Мы видим, что и в числителе, и в знаменателе есть общий множитель $m$. Сократим дробь на $m$. Следует учесть, что сокращение возможно только при условии, что общий множитель не равен нулю ($m \neq 0$), а также что знаменатель исходной дроби не равен нулю ($m(m-n) \neq 0$, что означает $m \neq 0$ и $m \neq n$).
$\frac{\cancel{m}(1-n)}{\cancel{m}(m-n)} = \frac{1-n}{m-n}$

Таким образом, после сокращения исходная дробь принимает вид $\frac{1-n}{m-n}$.

Ответ: $\frac{1-n}{m-n}$

4 Прочитайте словами свойства, которые в буквенном виде записываются так: $\frac{a}{b} = \frac{-a}{-b} = -\frac{a}{-b} = -\frac{-a}{b}$. Примените их к дроби $\frac{a-2}{b-1}$.

Прочитайте словами свойства, которые в буквенном виде записываются так: $\frac{a}{b} = \frac{-a}{-b} = -\frac{a}{-b} = -\frac{-a}{b}$

Данные равенства описывают свойства знаков алгебраической дроби. Их можно прочитать следующим образом:

• $\frac{a}{b} = \frac{-a}{-b}$: Значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки ее числителя и знаменателя на противоположные.
• $\frac{a}{b} = -\frac{a}{-b}$: Значение дроби равно дроби с противоположным знаком, у которой изменен знак знаменателя. Иными словами, чтобы поменять знак знаменателя, нужно поменять знак перед всей дробью.
• $\frac{a}{b} = -\frac{-a}{b}$: Значение дроби равно дроби с противоположным знаком, у которой изменен знак числителя. Иными словами, чтобы поменять знак числителя, нужно поменять знак перед всей дробью.

Все эти свойства основаны на правиле, что двойное изменение знака (что эквивалентно умножению на -1 дважды) не меняет итогового значения выражения.

Ответ: Значение дроби не изменится, если одновременно изменить на противоположные: 1) знаки числителя и знаменателя; 2) знак знаменателя и знак перед дробью; 3) знак числителя и знак перед дробью.

Примените их к дроби $\frac{a-2}{b-1}$

Применим данные свойства к дроби $\frac{a-2}{b-1}$. В этой дроби выражению $a$ из общей формулы соответствует числитель $(a-2)$, а выражению $b$ — знаменатель $(b-1)$.

1. Применяя свойство $\frac{a}{b} = \frac{-a}{-b}$, изменим знаки у числителя и знаменателя дроби. Знак выражения $(a-2)$ меняется на $-(a-2) = -a+2 = 2-a$. Знак выражения $(b-1)$ меняется на $-(b-1) = -b+1 = 1-b$.

$\frac{a-2}{b-1} = \frac{-(a-2)}{-(b-1)} = \frac{2-a}{1-b}$

2. Применяя свойство $\frac{a}{b} = -\frac{a}{-b}$, изменим знак знаменателя и поставим знак "минус" перед всей дробью.

$\frac{a-2}{b-1} = -\frac{a-2}{-(b-1)} = -\frac{a-2}{1-b}$

3. Применяя свойство $\frac{a}{b} = -\frac{-a}{b}$, изменим знак числителя и поставим знак "минус" перед всей дробью.

$\frac{a-2}{b-1} = -\frac{-(a-2)}{b-1} = -\frac{2-a}{b-1}$

Объединив все полученные результаты, получаем цепочку равенств.

Ответ: $\frac{a-2}{b-1} = \frac{2-a}{1-b} = -\frac{a-2}{1-b} = -\frac{2-a}{b-1}$.

5 Объясните, как сократить дробь $ \frac{3y-3x}{x^2-y^2} $.

Чтобы сократить алгебраическую дробь $\frac{3y-3x}{x^2-y^2}$, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель, а затем сократить одинаковые множители.

1. Разложение числителя на множители.
В выражении $3y-3x$ есть общий множитель 3, который можно вынести за скобки: $3y - 3x = 3(y - x)$.

2. Разложение знаменателя на множители.
Выражение в знаменателе $x^2 - y^2$ является формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов. Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим её к нашему знаменателю: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

3. Подстановка разложенных выражений в дробь.
Теперь исходная дробь выглядит следующим образом: $\frac{3(y-x)}{(x-y)(x+y)}$.

4. Преобразование и сокращение.
Мы видим, что в числителе стоит множитель $(y-x)$, а в знаменателе — $(x-y)$. Эти выражения противоположны, то есть $(y-x) = -(x-y)$. Вынесем знак минус в числителе за скобки, чтобы получить одинаковые множители: $3(y-x) = -3(x-y)$.
Теперь подставим это обратно в дробь: $\frac{-3(x-y)}{(x-y)(x+y)}$.
Теперь можно сократить общий множитель $(x-y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-y \neq 0$, то есть $x \neq y$): $\frac{-3\cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{-3}{x+y}$.

Ответ: $\frac{-3}{x+y}$

6 Объясните на примере выражения $\frac{x+m}{xm} + \frac{y-m}{ym}$, как выполняют сложение дробей с разными знаменателями.

Сложение дробей с разными знаменателями выполняется по определенному алгоритму. Рассмотрим его на примере выражения $ \frac{x+m}{xm} + \frac{y-m}{ym} $.

Шаг 1: Нахождение общего знаменателя

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей $xm$ и $ym$. НОК должно содержать все множители каждого из знаменателей.
Знаменатель первой дроби: $x \cdot m$
Знаменатель второй дроби: $y \cdot m$
Берем все множители из первого знаменателя ($x, m$) и добавляем недостающие множители из второго (в данном случае, это $y$).
Таким образом, наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $x \cdot m \cdot y = xym$.

Шаг 2: Нахождение дополнительных множителей

Для каждой дроби нужно найти дополнительный множитель. Для этого общий знаменатель делим на знаменатель каждой дроби.

• Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{x+m}{xm} $: $ \frac{xym}{xm} = y $.
• Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{y-m}{ym} $: $ \frac{xym}{ym} = x $.

Шаг 3: Приведение дробей к общему знаменателю

Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Это основное свойство дроби: ее значение не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число (или выражение), не равное нулю.

$ \frac{x+m}{xm} + \frac{y-m}{ym} = \frac{(x+m) \cdot y}{xm \cdot y} + \frac{(y-m) \cdot x}{ym \cdot x} $

Выполняем умножение:

$ \frac{xy+my}{xym} + \frac{yx-mx}{xym} $

Шаг 4: Сложение дробей и упрощение выражения

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, мы складываем их числители, а знаменатель оставляем без изменений.

$ \frac{(xy+my) + (yx-mx)}{xym} $

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые ($xy$ и $yx$ это одно и то же):

$ \frac{xy+my+yx-mx}{xym} = \frac{2xy+my-mx}{xym} $

Дальнейшее упрощение или сокращение дроби невозможно, так как у слагаемых в числителе нет общего множителя, который можно было бы сократить со знаменателем.

Итоговый алгоритм:
1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Определить для каждой дроби дополнительный множитель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Сложить полученные числители, а знаменатель оставить общим.
5. Упростить полученную дробь, если это возможно.

Ответ: $ \frac{2xy+my-mx}{xym} $

7 Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило умножения дробей. Примените его к произведению $\frac{x-y}{2x} \cdot \frac{2x^2}{x^2 - y^2}$.

Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило умножения дробей.

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

В буквенном виде это правило записывается следующим образом:

$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $

Это правило справедливо для любых дробей, при условии, что их знаменатели не равны нулю, то есть $ b \neq 0 $ и $ d \neq 0 $.

Ответ: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй; первое произведение записать в числитель, а второе — в знаменатель новой дроби. В буквенном виде: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $.

Примените его к произведению $\frac{x-y}{2x} \cdot \frac{2x^2}{x^2-y^2}$.

Воспользуемся сформулированным правилом. Умножим числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй:

$ \frac{x-y}{2x} \cdot \frac{2x^2}{x^2-y^2} = \frac{(x-y) \cdot 2x^2}{2x \cdot (x^2-y^2)} $

Для упрощения полученной дроби разложим на множители ее числитель и знаменатель. Знаменатель $ x^2-y^2 $ можно разложить по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $

Подставим это разложение в наше выражение:

$ \frac{(x-y) \cdot 2x^2}{2x \cdot (x-y)(x+y)} $

Теперь можно сократить дробь на общие множители $ (x-y) $ и $ 2x $. Сокращение возможно при условии, что общие множители не равны нулю, т.е. $ x \neq y $ и $ x \neq 0 $. Также из исходного выражения следует, что $ x^2 - y^2 \neq 0 $, значит $ x \neq -y $.

Выполним сокращение:

$ \frac{\cancel{(x-y)} \cdot \cancel{2x} \cdot x}{\cancel{2x} \cdot \cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{x}{x+y} $

Ответ: $ \frac{x}{x+y} $.

8 Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило деления дробей. Примените его к частному $ \frac{n}{m^2 + mn} : \frac{n^2}{m^2 - n^2} $

Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило деления дробей.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю).

Ответ: В буквенном виде это правило записывается так: $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} $, где $b \neq 0, c \neq 0, d \neq 0$.

Примените его к частному $\frac{n}{m^2+mn} : \frac{n^2}{m^2-n^2}$.

Для применения правила деления дробей, заменим операцию деления на умножение на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{n}{m^2+mn} : \frac{n^2}{m^2-n^2} = \frac{n}{m^2+mn} \cdot \frac{m^2-n^2}{n^2} $

Для упрощения выражения разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $m$ за скобки ($m^2+mn = m(m+n)$), и числитель второй дроби, используя формулу разности квадратов ($m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$):

$ \frac{n}{m(m+n)} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{n^2} $

Теперь объединим дроби, записав все множители под одной чертой, и сократим общие множители $n$ и $(m+n)$:

$ \frac{n \cdot (m-n)(m+n)}{m(m+n) \cdot n^2} = \frac{\cancel{n} \cdot (m-n) \cancel{(m+n)}}{m \cdot \cancel{(m+n)} \cdot n^{\cancel{2}}} = \frac{m-n}{mn} $

Ответ: $ \frac{m-n}{mn} $.

9 Дайте определение степени с целым отрицательным показателем. Приведите примеры.

Определение

Степенью числа $a$, не равного нулю, с целым отрицательным показателем $-n$ (где $n$ — натуральное число) называется число, которое равно дроби, в числителе которой находится единица, а в знаменателе — степень того же числа $a$ с положительным показателем $n$.

Это определение можно записать в виде формулы:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Это правило действует для любого числа $a \neq 0$ и любого натурального числа $n$. Условие, что основание степени $a$ не должно быть равно нулю, является обязательным, так как в противном случае в знаменателе дроби $\frac{1}{a^n}$ оказался бы ноль, а деление на ноль в математике не определено.

Примеры

• Вычислим $5^{-2}$. По определению, $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

• Вычислим $(-10)^{-3}$. По определению, $(-10)^{-3} = \frac{1}{(-10)^3} = \frac{1}{-1000} = -0.001$.

• Вычислим $(\frac{2}{3})^{-4}$. По определению, $(\frac{2}{3})^{-4} = \frac{1}{(\frac{2}{3})^4} = \frac{1}{\frac{16}{81}} = \frac{81}{16}$. Более простой способ для дробей — перевернуть дробь и сделать показатель положительным: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Таким образом, $(\frac{2}{3})^{-4} = (\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.

• Представим выражение $x^{-7}$ в виде дроби (при $x \neq 0$). По определению, $x^{-7} = \frac{1}{x^7}$.

Ответ: Степенью числа $a \neq 0$ с целым отрицательным показателем $-n$ называется число, равное $\frac{1}{a^n}$. Например, $5^{-2} = \frac{1}{25}$.

10 Дайте определение степени с нулевым показателем. Приведите примеры.

Определение степени с нулевым показателем

Степенью любого числа a, не равного нулю, с нулевым показателем является единица.

Это правило записывается в виде формулы:

$a^0 = 1$, при $a \neq 0$

Данное определение не является произвольным, а логически следует из свойства деления степеней с одинаковыми основаниями: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Рассмотрим случай, когда показатели $m$ и $n$ равны ($m=n$). С одной стороны, любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно 1. Следовательно:

$\frac{a^n}{a^n} = 1$

С другой стороны, если применить формулу деления степеней, мы получим:

$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$

Приравнивая правые части этих двух выражений, мы приходим к единственно возможному выводу, который сохраняет согласованность математических правил: $a^0 = 1$.

Важно отметить, что выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в элементарной алгебре считается неопределенным, так как его значение не может быть однозначно установлено в рамках стандартных правил.

Ответ: Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Формула: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.

Примеры

Ниже приведены примеры, иллюстрирующие это правило для различных оснований:

Для целых чисел:

$5^0 = 1$

$(-8)^0 = 1$

Для дробных чисел:

$(\frac{3}{4})^0 = 1$

$(-2.5)^0 = 1$

Для иррациональных чисел:

$(\sqrt{2})^0 = 1$

$\pi^0 = 1$

Для алгебраических выражений:

$(x+y)^0 = 1$, при условии, что $x+y \neq 0$.

Ответ: Примеры: $10^0 = 1$; $(-15)^0 = 1$; $(\frac{1}{2})^0 = 1$; $x^0 = 1$ (при $x \neq 0$).

11 Запишите с помощью букв свойства степени с целым показателем.

Свойства степени с целым показателем записываются с помощью букв (переменных) следующим образом. Пусть $a$ и $b$ — действительные числа, а $m$ и $n$ — целые числа.

1. Произведение степеней с одинаковым основанием
Для любого числа $a \neq 0$ и любых целых чисел $m$ и $n$ справедливо равенство: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а показатели складываются.
Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2. Частное степеней с одинаковым основанием
Для любого числа $a \neq 0$ и любых целых чисел $m$ и $n$ справедливо равенство: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
Ответ: $a^m : a^n = a^{m-n}$

3. Возведение степени в степень
Для любого числа $a \neq 0$ и любых целых чисел $m$ и $n$ справедливо равенство: при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются.
Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$

4. Степень произведения
Для любых чисел $a \neq 0, b \neq 0$ и любого целого числа $n$ справедливо равенство: степень произведения равна произведению степеней множителей с тем же показателем.
Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

5. Степень частного (дроби)
Для любых чисел $a \neq 0, b \neq 0$ и любого целого числа $n$ справедливо равенство: степень частного равна частному степеней делимого и делителя с тем же показателем.
Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

6. Нулевой показатель степени
Для любого числа $a \neq 0$ степень с нулевым показателем равна единице.
Ответ: $a^0 = 1$

7. Отрицательный показатель степени
Для любого числа $a \neq 0$ и любого целого отрицательного числа $-n$ (где $n$ — натуральное число) справедливо равенство.
Ответ: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$