Номер 5, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 5, страница 60.

Условие.

5 Объясните, как сократить дробь $ \frac{3y-3x}{x^2-y^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы сократить алгебраическую дробь $\frac{3y-3x}{x^2-y^2}$, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель, а затем сократить одинаковые множители.

1. Разложение числителя на множители.
В выражении $3y-3x$ есть общий множитель 3, который можно вынести за скобки: $3y - 3x = 3(y - x)$.

2. Разложение знаменателя на множители.
Выражение в знаменателе $x^2 - y^2$ является формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов. Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим её к нашему знаменателю: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

3. Подстановка разложенных выражений в дробь.
Теперь исходная дробь выглядит следующим образом: $\frac{3(y-x)}{(x-y)(x+y)}$.

4. Преобразование и сокращение.
Мы видим, что в числителе стоит множитель $(y-x)$, а в знаменателе — $(x-y)$. Эти выражения противоположны, то есть $(y-x) = -(x-y)$. Вынесем знак минус в числителе за скобки, чтобы получить одинаковые множители: $3(y-x) = -3(x-y)$.
Теперь подставим это обратно в дробь: $\frac{-3(x-y)}{(x-y)(x+y)}$.
Теперь можно сократить общий множитель $(x-y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-y \neq 0$, то есть $x \neq y$): $\frac{-3\cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{-3}{x+y}$.

Ответ: $\frac{-3}{x+y}$