Номер 7, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 7, страница 60.

Условие.

7 Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило умножения дробей. Примените его к произведению $\frac{x-y}{2x} \cdot \frac{2x^2}{x^2 - y^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Сформулируйте и запишите в буквенном виде правило умножения дробей.

Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

В буквенном виде это правило записывается следующим образом:

$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $

Это правило справедливо для любых дробей, при условии, что их знаменатели не равны нулю, то есть $ b \neq 0 $ и $ d \neq 0 $.

Ответ: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй; первое произведение записать в числитель, а второе — в знаменатель новой дроби. В буквенном виде: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $.

Примените его к произведению $\frac{x-y}{2x} \cdot \frac{2x^2}{x^2-y^2}$.

Воспользуемся сформулированным правилом. Умножим числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй:

$ \frac{x-y}{2x} \cdot \frac{2x^2}{x^2-y^2} = \frac{(x-y) \cdot 2x^2}{2x \cdot (x^2-y^2)} $

Для упрощения полученной дроби разложим на множители ее числитель и знаменатель. Знаменатель $ x^2-y^2 $ можно разложить по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $

Подставим это разложение в наше выражение:

$ \frac{(x-y) \cdot 2x^2}{2x \cdot (x-y)(x+y)} $

Теперь можно сократить дробь на общие множители $ (x-y) $ и $ 2x $. Сокращение возможно при условии, что общие множители не равны нулю, т.е. $ x \neq y $ и $ x \neq 0 $. Также из исходного выражения следует, что $ x^2 - y^2 \neq 0 $, значит $ x \neq -y $.

Выполним сокращение:

$ \frac{\cancel{(x-y)} \cdot \cancel{2x} \cdot x}{\cancel{2x} \cdot \cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{x}{x+y} $

Ответ: $ \frac{x}{x+y} $.