Номер 6, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 6, страница 60.

Условие.

6 Объясните на примере выражения $\frac{x+m}{xm} + \frac{y-m}{ym}$, как выполняют сложение дробей с разными знаменателями.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Сложение дробей с разными знаменателями выполняется по определенному алгоритму. Рассмотрим его на примере выражения $ \frac{x+m}{xm} + \frac{y-m}{ym} $.

Шаг 1: Нахождение общего знаменателя

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей $xm$ и $ym$. НОК должно содержать все множители каждого из знаменателей.
Знаменатель первой дроби: $x \cdot m$
Знаменатель второй дроби: $y \cdot m$
Берем все множители из первого знаменателя ($x, m$) и добавляем недостающие множители из второго (в данном случае, это $y$).
Таким образом, наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $x \cdot m \cdot y = xym$.

Шаг 2: Нахождение дополнительных множителей

Для каждой дроби нужно найти дополнительный множитель. Для этого общий знаменатель делим на знаменатель каждой дроби.

• Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{x+m}{xm} $: $ \frac{xym}{xm} = y $.
• Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{y-m}{ym} $: $ \frac{xym}{ym} = x $.

Шаг 3: Приведение дробей к общему знаменателю

Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Это основное свойство дроби: ее значение не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число (или выражение), не равное нулю.

$ \frac{x+m}{xm} + \frac{y-m}{ym} = \frac{(x+m) \cdot y}{xm \cdot y} + \frac{(y-m) \cdot x}{ym \cdot x} $

Выполняем умножение:

$ \frac{xy+my}{xym} + \frac{yx-mx}{xym} $

Шаг 4: Сложение дробей и упрощение выражения

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, мы складываем их числители, а знаменатель оставляем без изменений.

$ \frac{(xy+my) + (yx-mx)}{xym} $

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые ($xy$ и $yx$ это одно и то же):

$ \frac{xy+my+yx-mx}{xym} = \frac{2xy+my-mx}{xym} $

Дальнейшее упрощение или сокращение дроби невозможно, так как у слагаемых в числителе нет общего множителя, который можно было бы сократить со знаменателем.

Итоговый алгоритм:
1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Определить для каждой дроби дополнительный множитель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Сложить полученные числители, а знаменатель оставить общим.
5. Упростить полученную дробь, если это возможно.

Ответ: $ \frac{2xy+my-mx}{xym} $