Номер 577, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 577, страница 172.

Условие.

577 Запишите все пары натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения:

а) $x + y = 6$;

б) $xy = 12$;

в) $2x + y = 10$;

г) $0.5x + y = 6$.

Указание. Воспользуйтесь методом перебора.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для уравнения $x + y = 6$ необходимо найти все пары натуральных чисел $(x, y)$, сумма которых равна 6. Воспользуемся методом перебора, последовательно подставляя натуральные значения для $x$ и находя соответствующие значения $y$.
Поскольку $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Из уравнения $y = 6 - x$ следует, что $6 - x \ge 1$, откуда $x \le 5$.
Переберём все возможные натуральные значения $x$ от 1 до 5:

• Если $x = 1$, то $y = 6 - 1 = 5$. Получаем пару (1; 5).
• Если $x = 2$, то $y = 6 - 2 = 4$. Получаем пару (2; 4).
• Если $x = 3$, то $y = 6 - 3 = 3$. Получаем пару (3; 3).
• Если $x = 4$, то $y = 6 - 4 = 2$. Получаем пару (4; 2).
• Если $x = 5$, то $y = 6 - 5 = 1$. Получаем пару (5; 1).

При $x \ge 6$ значение $y$ не будет натуральным числом.
Ответ: (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1).

б) Для уравнения $xy = 12$ необходимо найти все пары натуральных чисел $(x, y)$, произведение которых равно 12. Это означает, что $x$ и $y$ являются делителями числа 12.
Найдём все натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Теперь составим пары, перебирая значения $x$ из числа делителей:

• Если $x = 1$, то $y = 12 / 1 = 12$. Получаем пару (1; 12).
• Если $x = 2$, то $y = 12 / 2 = 6$. Получаем пару (2; 6).
• Если $x = 3$, то $y = 12 / 3 = 4$. Получаем пару (3; 4).
• Если $x = 4$, то $y = 12 / 4 = 3$. Получаем пару (4; 3).
• Если $x = 6$, то $y = 12 / 6 = 2$. Получаем пару (6; 2).
• Если $x = 12$, то $y = 12 / 12 = 1$. Получаем пару (12; 1).

Ответ: (1; 12), (2; 6), (3; 4), (4; 3), (6; 2), (12; 1).

в) Для уравнения $2x + y = 10$ выразим $y$ через $x$: $y = 10 - 2x$.
Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Из условия $y \ge 1$ получаем неравенство $10 - 2x \ge 1$, что равносильно $9 \ge 2x$, или $x \le 4.5$.
Таким образом, $x$ может принимать натуральные значения 1, 2, 3, 4.
Переберём эти значения:

• Если $x = 1$, то $y = 10 - 2 \cdot 1 = 8$. Получаем пару (1; 8).
• Если $x = 2$, то $y = 10 - 2 \cdot 2 = 6$. Получаем пару (2; 6).
• Если $x = 3$, то $y = 10 - 2 \cdot 3 = 4$. Получаем пару (3; 4).
• Если $x = 4$, то $y = 10 - 2 \cdot 4 = 2$. Получаем пару (4; 2).

При $x=5$ получаем $y=0$, что не является натуральным числом.
Ответ: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2).

г) Для уравнения $0.5x + y = 6$ сначала избавимся от дробного коэффициента, умножив обе части уравнения на 2: $x + 2y = 12$.
Выразим $y$ через $x$: $2y = 12 - x$, откуда $y = \frac{12 - x}{2}$.
Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Из условия $y \ge 1$ следует, что $\frac{12 - x}{2} \ge 1$, то есть $12 - x \ge 2$, откуда $x \le 10$.
Также для того, чтобы $y$ был целым числом, выражение $12 - x$ должно быть чётным и положительным. Так как 12 — чётное число, то и $x$ должен быть чётным.
Следовательно, $x$ может принимать чётные натуральные значения от 1 до 10: 2, 4, 6, 8, 10.
Переберём эти значения:

• Если $x = 2$, то $y = (12 - 2) / 2 = 5$. Получаем пару (2; 5).
• Если $x = 4$, то $y = (12 - 4) / 2 = 4$. Получаем пару (4; 4).
• Если $x = 6$, то $y = (12 - 6) / 2 = 3$. Получаем пару (6; 3).
• Если $x = 8$, то $y = (12 - 8) / 2 = 2$. Получаем пару (8; 2).
• Если $x = 10$, то $y = (12 - 10) / 2 = 1$. Получаем пару (10; 1).

Ответ: (2; 5), (4; 4), (6; 3), (8; 2), (10; 1).