Номер 579, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 579, страница 172.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (579–580)

579 Имеет ли уравнение решения? Если имеет, то приведите примеры решений:

а) $x^2 = y^2$;

б) $xy = 8$;

в) $xy = 0$;

г) $x = y^2$;

д) $x^2 + y^2 = 0$;

е) $|x| + |y| + 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Да, уравнение $x^2 = y^2$ имеет бесконечно много решений. Это уравнение равносильно тому, что $x=y$ или $x=-y$. То есть решением является любая пара чисел, которые либо равны, либо противоположны по знаку.
Примеры решений: $(5, 5)$, $(-3, -3)$, $(1, -1)$, $(-4, 4)$.

Ответ: Да, имеет. Например, $(5, 5)$ и $(1, -1)$.

б) Да, уравнение $xy = 8$ имеет бесконечно много решений. Решением является любая пара чисел $(x, y)$, произведение которых равно 8. Для любого ненулевого числа $x$ можно найти соответствующий $y$ по формуле $y = 8/x$.
Примеры решений: $(1, 8)$, $(2, 4)$, $(-4, -2)$, $(16, 0.5)$.

Ответ: Да, имеет. Например, $(2, 4)$ и $(-4, -2)$.

в) Да, уравнение $xy = 0$ имеет бесконечно много решений. Произведение двух чисел равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. То есть $x=0$ или $y=0$.
Примеры решений: $(0, 7)$, $(15, 0)$, $(0, 0)$, $(-2, 0)$.

Ответ: Да, имеет. Например, $(15, 0)$ и $(0, 7)$.

г) Да, уравнение $x = y^2$ имеет бесконечно много решений. Для любого действительного числа $y$ можно вычислить $x$. Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно, решения существуют только для $x \ge 0$.
Примеры решений: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(4, 2)$, $(9, -3)$.

Ответ: Да, имеет. Например, $(4, 2)$ и $(1, -1)$.

д) Да, уравнение $x^2 + y^2 = 0$ имеет решение. Квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда оба числа равны нулю. Следовательно, $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$, что означает $x=0$ и $y=0$.
Это уравнение имеет единственное решение: $(0, 0)$.

Ответ: Да, имеет. Решение: $(0, 0)$.

е) Нет, уравнение $|x| + |y| + 1 = 0$ не имеет решений. Модуль любого действительного числа — неотрицательная величина ($|x| \ge 0$ и $|y| \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $|x| + |y| \ge 0$. Если к этой сумме прибавить 1, результат будет строго положительным: $|x| + |y| + 1 \ge 1$. Левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.

Ответ: Нет, не имеет решений.