Номер 583, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 583, страница 172.

Условие.

583 Учащиеся 8 класса выполняли тест, содержащий задания по алгебре и геометрии. За каждый верный ответ на алгебраический вопрос выставлялось 3 балла, а на геометрический — 4 балла. Ученик верно ответил на все вопросы теста и получил 100 баллов. Сколько в тесте было заданий по алгебре и сколько по геометрии?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Обозначим количество заданий по алгебре через $x$, а количество заданий по геометрии — через $y$.

Согласно условию задачи, за каждый правильный ответ по алгебре начисляется 3 балла, а по геометрии — 4 балла. Ученик правильно ответил на все вопросы и получил 100 баллов. Это можно выразить в виде линейного уравнения:

$3x + 4y = 100$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами, так как они обозначают количество заданий.

Для решения этого диофантова уравнения выразим одну переменную через другую. Например, выразим $x$:

$3x = 100 - 4y$

$x = \frac{100 - 4y}{3}$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, выражение $100 - 4y$ должно быть кратно 3. Также, так как $x \ge 0$, то $100 - 4y \ge 0$, что ведет к неравенству $4y \le 100$, или $y \le 25$.

Найдем, при каких значениях $y$ (от 0 до 25) выражение $100 - 4y$ делится на 3. Воспользуемся сравнением по модулю 3:

$100 - 4y \equiv 0 \pmod{3}$

Так как $100 \equiv 1 \pmod{3}$ и $4 \equiv 1 \pmod{3}$, подставим эти значения в сравнение:

$1 - 1 \cdot y \equiv 0 \pmod{3}$

$1 - y \equiv 0 \pmod{3}$

$y \equiv 1 \pmod{3}$

Это означает, что число $y$ при делении на 3 должно давать в остатке 1. Учитывая, что $0 \le y \le 25$, возможными значениями для $y$ являются: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25.

Теперь найдем соответствующее значение $x$ для каждого возможного $y$. Получаем следующие пары решений $(x, y)$:

Если $y=1$, то $x = (100 - 4 \cdot 1)/3 = 96/3 = 32$. Решение: 32 задания по алгебре, 1 по геометрии.
Если $y=4$, то $x = (100 - 4 \cdot 4)/3 = 84/3 = 28$. Решение: 28 заданий по алгебре, 4 по геометрии.
Если $y=7$, то $x = (100 - 4 \cdot 7)/3 = 72/3 = 24$. Решение: 24 задания по алгебре, 7 по геометрии.
Если $y=10$, то $x = (100 - 4 \cdot 10)/3 = 60/3 = 20$. Решение: 20 заданий по алгебре, 10 по геометрии.
Если $y=13$, то $x = (100 - 4 \cdot 13)/3 = 48/3 = 16$. Решение: 16 заданий по алгебре, 13 по геометрии.
Если $y=16$, то $x = (100 - 4 \cdot 16)/3 = 36/3 = 12$. Решение: 12 заданий по алгебре, 16 по геометрии.
Если $y=19$, то $x = (100 - 4 \cdot 19)/3 = 24/3 = 8$. Решение: 8 заданий по алгебре, 19 по геометрии.
Если $y=22$, то $x = (100 - 4 \cdot 22)/3 = 12/3 = 4$. Решение: 4 задания по алгебре, 22 по геометрии.
Если $y=25$, то $x = (100 - 4 \cdot 25)/3 = 0/3 = 0$. Решение: 0 заданий по алгебре, 25 по геометрии.

Таким образом, задача имеет 9 возможных решений. Условие, что тест содержит "задания по алгебре и геометрии", может подразумевать, что количество заданий по каждому предмету больше нуля ($x > 0$ и $y > 0$). В этом случае решение с 0 заданий по алгебре можно исключить, и останется 8 возможных вариантов.

Ответ: Существует несколько возможных вариантов состава теста. Возможные комбинации (количество заданий по алгебре, количество заданий по геометрии) могут быть следующими: (32, 1), (28, 4), (24, 7), (20, 10), (16, 13), (12, 16), (8, 19), (4, 22) или (0, 25).