Номер 582, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 582, страница 172.

Условие.

582 Ученики начальной школы на уроке математики выкладывают из палочек пятиугольники и шестиугольники. Всего в наборе 100 палочек. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников можно выложить, чтобы использованными оказались все палочки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы составить математическое уравнение. Пусть $x$ — это количество пятиугольников, а $y$ — количество шестиугольников.

Мы знаем, что:

• Для одного пятиугольника нужно 5 палочек.
• Для одного шестиугольника нужно 6 палочек.
• Всего в наборе 100 палочек.

Поскольку нужно использовать все 100 палочек, общее количество палочек, использованных для всех фигур, должно быть равно 100. Это можно выразить уравнением:

$5x + 6y = 100$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами, так как они представляют количество фигур.

Теперь решим это уравнение. Выразим из него $5x$:

$5x = 100 - 6y$

Левая часть уравнения, $5x$, очевидно, делится на 5. Это значит, что и правая часть, $100 - 6y$, также должна делиться на 5. Число 100 делится на 5, поэтому, чтобы вся разность делилась на 5, необходимо, чтобы и вычитаемое $6y$ делилось на 5. Поскольку числа 6 и 5 взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), то на 5 должно делиться число $y$.

Кроме того, количество палочек на шестиугольники ($6y$) не может быть больше 100:

$6y \le 100$

$y \le \frac{100}{6}$

$y \le 16 \frac{2}{3}$

Итак, $y$ (количество шестиугольников) должен быть целым неотрицательным числом, кратным 5, и не больше 16. Возможные значения для $y$: 0, 5, 10, 15.

Рассмотрим каждый возможный случай:

Случай 1: 0 шестиугольников

Если $y = 0$, подставляем это значение в уравнение:

$5x + 6(0) = 100 \implies 5x = 100 \implies x = 20$

Это означает, что можно сложить 20 пятиугольников и 0 шестиугольников.

Случай 2: 5 шестиугольников

Если $y = 5$, подставляем в уравнение:

$5x + 6(5) = 100 \implies 5x + 30 = 100 \implies 5x = 70 \implies x = 14$

Это означает, что можно сложить 14 пятиугольников и 5 шестиугольников.

Случай 3: 10 шестиугольников

Если $y = 10$, подставляем в уравнение:

$5x + 6(10) = 100 \implies 5x + 60 = 100 \implies 5x = 40 \implies x = 8$

Это означает, что можно сложить 8 пятиугольников и 10 шестиугольников.

Случай 4: 15 шестиугольников

Если $y = 15$, подставляем в уравнение:

$5x + 6(15) = 100 \implies 5x + 90 = 100 \implies 5x = 10 \implies x = 2$

Это означает, что можно сложить 2 пятиугольника и 15 шестиугольников.

Если взять следующее кратное 5 число, $y = 20$, то $6(20) = 120$, что уже больше 100 палочек, поэтому другие варианты невозможны.

Ответ: Существует четыре возможных способа использовать все палочки:
1. 20 пятиугольников и 0 шестиугольников.
2. 14 пятиугольников и 5 шестиугольников.
3. 8 пятиугольников и 10 шестиугольников.
4. 2 пятиугольника и 15 шестиугольников.