Страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Для каждой прямой назовите угловой коэффициент и ординату точки, в которой прямая пересекает ось y, и постройте эту прямую (618—619).

618 а) $y = x + 2$;

б) $y = x - 1$;

в) $y = 2x - 4$;

г) $y = \frac{2}{3}x + 2$;

д) $y = 0,5x - 3$;

е) $y = \frac{x}{2} + 1$.

а) $y = x + 2$

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент, а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Для прямой $y = x + 2$ имеем:
Угловой коэффициент $k = 1$ (коэффициент при $x$).
Ордината точки пересечения с осью $y$ равна $b = 2$. Это означает, что прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, 2)$.

Для построения прямой нам нужна еще одна точка. Найдем точку пересечения с осью $x$, для этого приравняем $y$ к нулю: $0 = x + 2$, откуда $x = -2$.
Получаем вторую точку с координатами $(-2, 0)$.

Теперь можно построить прямую, проведя линию через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: угловой коэффициент $k=1$; ордината точки пересечения с осью $y$ равна $2$.

б) $y = x - 1$

Сравнивая с общей формой уравнения прямой $y = kx + b$, находим:
Угловой коэффициент $k = 1$.
Ордината точки пересечения с осью $y$ равна $b = -1$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, -1)$.

Найдем вторую точку для построения – точку пересечения с осью $x$. Положим $y = 0$:
$0 = x - 1$, откуда $x = 1$.
Вторая точка – $(1, 0)$.

Для построения графика нужно отметить точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: угловой коэффициент $k=1$; ордината точки пересечения с осью $y$ равна $-1$.

в) $y = 2x - 4$

Сравнивая с общей формой уравнения прямой $y = kx + b$, находим:
Угловой коэффициент $k = 2$.
Ордината точки пересечения с осью $y$ равна $b = -4$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, -4)$.

Найдем точку пересечения с осью $x$, положив $y = 0$:
$0 = 2x - 4$, откуда $2x = 4$ и $x = 2$.
Вторая точка – $(2, 0)$.

Строим прямую, проводя ее через точки $(0, -4)$ и $(2, 0)$.

Ответ: угловой коэффициент $k=2$; ордината точки пересечения с осью $y$ равна $-4$.

г) $y = \frac{2}{3}x + 2$

Сравнивая с общей формой уравнения прямой $y = kx + b$, находим:
Угловой коэффициент $k = \frac{2}{3}$.
Ордината точки пересечения с осью $y$ равна $b = 2$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, 2)$.

Найдем точку пересечения с осью $x$, положив $y = 0$:
$0 = \frac{2}{3}x + 2$, откуда $\frac{2}{3}x = -2$ и $x = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$.
Вторая точка – $(-3, 0)$.

Строим прямую, проводя ее через точки $(0, 2)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: угловой коэффициент $k=\frac{2}{3}$; ордината точки пересечения с осью $y$ равна $2$.

д) $y = 0,5x - 3$

Сравнивая с общей формой уравнения прямой $y = kx + b$, находим:
Угловой коэффициент $k = 0,5$.
Ордината точки пересечения с осью $y$ равна $b = -3$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, -3)$.

Найдем точку пересечения с осью $x$, положив $y = 0$:
$0 = 0,5x - 3$, откуда $0,5x = 3$ и $x = 6$.
Вторая точка – $(6, 0)$.

Строим прямую, проводя ее через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$.

Ответ: угловой коэффициент $k=0,5$; ордината точки пересечения с осью $y$ равна $-3$.

е) $y = \frac{x}{2} + 1$

Перепишем уравнение в стандартном виде $y = \frac{1}{2}x + 1$.
Сравнивая с общей формой $y = kx + b$, находим:
Угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$ (или $0,5$).
Ордината точки пересечения с осью $y$ равна $b = 1$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, 1)$.

Найдем точку пересечения с осью $x$, положив $y = 0$:
$0 = \frac{1}{2}x + 1$, откуда $\frac{1}{2}x = -1$ и $x = -2$.
Вторая точка – $(-2, 0)$.

Строим прямую, проводя ее через точки $(0, 1)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$; ордината точки пересечения с осью $y$ равна $1$.

619 a) $y = -x + 3;$

Б) $y = -x - 1;$

В) $y = -2x + 2;$

Г) $y = 4 - \frac{1}{2}x;$

Д) $y = -0,4x - 2;$

е) $y = 6 - 3x.$

а) Дана линейная функция $y = -x + 3$.

Это функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -1$ и свободный член $b = 3$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Для анализа и построения графика найдем точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью ординат (Oy): подставляем $x = 0$ в уравнение. Получаем $y = -0 + 3 = 3$. Координаты точки: $(0; 3)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox): подставляем $y = 0$ в уравнение. Получаем $0 = -x + 3$, откуда следует, что $x = 3$. Координаты точки: $(3; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(0; 3)$ и $(3; 0)$.

б) Дана линейная функция $y = -x - 1$.

Это функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -1$ и свободный член $b = -1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Пересечение с осью Oy: при $x = 0$ имеем $y = -0 - 1 = -1$. Координаты точки: $(0; -1)$.

Пересечение с осью Ox: при $y = 0$ имеем $0 = -x - 1$, откуда $x = -1$. Координаты точки: $(-1; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(0; -1)$ и $(-1; 0)$.

в) Дана линейная функция $y = -2x + 2$.

Это функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -2$ и свободный член $b = 2$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Пересечение с осью Oy: при $x = 0$ имеем $y = -2 \cdot 0 + 2 = 2$. Координаты точки: $(0; 2)$.

Пересечение с осью Ox: при $y = 0$ имеем $0 = -2x + 2$, откуда $2x = 2$, и $x = 1$. Координаты точки: $(1; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(0; 2)$ и $(1; 0)$.

г) Дана линейная функция $y = 4 - \frac{1}{2}x$.

Представим функцию в стандартном виде $y = kx + b$: $y = -\frac{1}{2}x + 4$. Здесь угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$ и свободный член $b = 4$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Пересечение с осью Oy: при $x = 0$ имеем $y = 4 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 4$. Координаты точки: $(0; 4)$.

Пересечение с осью Ox: при $y = 0$ имеем $0 = 4 - \frac{1}{2}x$, откуда $\frac{1}{2}x = 4$, и $x = 8$. Координаты точки: $(8; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(0; 4)$ и $(8; 0)$.

д) Дана линейная функция $y = -0,4x - 2$.

Это функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -0,4$ и свободный член $b = -2$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Пересечение с осью Oy: при $x = 0$ имеем $y = -0,4 \cdot 0 - 2 = -2$. Координаты точки: $(0; -2)$.

Пересечение с осью Ox: при $y = 0$ имеем $0 = -0,4x - 2$, откуда $0,4x = -2$, и $x = \frac{-2}{0,4} = -5$. Координаты точки: $(-5; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(0; -2)$ и $(-5; 0)$.

е) Дана линейная функция $y = 6 - 3x$.

Представим функцию в стандартном виде $y = kx + b$: $y = -3x + 6$. Здесь угловой коэффициент $k = -3$ и свободный член $b = 6$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Пересечение с осью Oy: при $x = 0$ имеем $y = 6 - 3 \cdot 0 = 6$. Координаты точки: $(0; 6)$.

Пересечение с осью Ox: при $y = 0$ имеем $0 = 6 - 3x$, откуда $3x = 6$, и $x = 2$. Координаты точки: $(2; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат $(0; 6)$ и $(2; 0)$.

620 Запишите уравнение прямой, если известен её угловой коэффициент и точка, в которой прямая пересекает ось y, и постройте эту прямую:

а) $k = 3, A(0; -3);$

б) $k = -2, A(0; 1);$

в) $k = \frac{2}{5}, A(0; 0);$

г) $k = 0, A(0; -4).$

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом: $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$. Точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0; b)$.

а) Дан угловой коэффициент $k = 3$ и точка пересечения с осью $y$ — $A(0; -3)$.

Из условия следует, что $k = 3$ и $b = -3$. Подставляем эти значения в общее уравнение прямой:

$y = 3x + (-3)$

$y = 3x - 3$

Для построения прямой нам нужны две точки. Одна точка уже известна: $A(0; -3)$. Найдем вторую точку, подставив в уравнение любое значение $x$, например, $x = 1$:

$y = 3 \cdot 1 - 3 = 0$

Вторая точка — $B(1; 0)$. Для построения графика нужно отметить точки $A(0; -3)$ и $B(1; 0)$ на координатной плоскости и провести через них прямую.

Ответ: $y = 3x - 3$

б) Дан угловой коэффициент $k = -2$ и точка пересечения с осью $y$ — $A(0; 1)$.

Из условия следует, что $k = -2$ и $b = 1$. Подставляем эти значения в уравнение:

$y = -2x + 1$

Для построения прямой используем точку $A(0; 1)$. Найдем вторую точку, подставив, например, $x = 2$:

$y = -2 \cdot 2 + 1 = -4 + 1 = -3$

Вторая точка — $B(2; -3)$. Отмечаем точки $A(0; 1)$ и $B(2; -3)$ и проводим через них прямую.

Ответ: $y = -2x + 1$

в) Дан угловой коэффициент $k = \frac{2}{5}$ и точка пересечения с осью $y$ — $A(0; 0)$.

Из условия следует, что $k = \frac{2}{5}$ и $b = 0$. Подставляем эти значения в уравнение:

$y = \frac{2}{5}x + 0$

$y = \frac{2}{5}x$

Для построения прямой используем точку $A(0; 0)$. Чтобы найти вторую точку с целыми координатами, удобно подставить значение $x$, кратное знаменателю 5, например, $x = 5$:

$y = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2$

Вторая точка — $B(5; 2)$. Отмечаем точки $A(0; 0)$ и $B(5; 2)$ и проводим через них прямую.

Ответ: $y = \frac{2}{5}x$

г) Дан угловой коэффициент $k = 0$ и точка пересечения с осью $y$ — $A(0; -4)$.

Из условия следует, что $k = 0$ и $b = -4$. Подставляем эти значения в уравнение:

$y = 0 \cdot x + (-4)$

$y = -4$

Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси $x$, все точки которой имеют ординату (координату $y$) равную -4. Для построения прямой, кроме точки $A(0; -4)$, можно взять любую другую точку с ординатой -4, например, $B(3; -4)$. Соединяем точки $A$ и $B$ прямой линией.

Ответ: $y = -4$

621 Найдите координаты точек, в которых прямая пересекает ось $x$ и ось $y$, и постройте эту прямую:

а) $y = 2x - 10;$

б) $y = -\frac{2}{3}x + 4;$

в) $y = 4x + 2;$

г) $y = -\frac{1}{2}x - 1.$

Для нахождения координат точек пересечения прямой с осями координат и построения графика, мы будем действовать по следующему плану для каждого уравнения:

1. Найти точку пересечения с осью ординат (осью $y$), подставив в уравнение $x=0$.
2. Найти точку пересечения с осью абсцисс (осью $x$), подставив в уравнение $y=0$.
3. Отметить найденные две точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

а) $y = 2x - 10$

1. Пересечение с осью $y$: подставим $x=0$ в уравнение.

$y = 2 \cdot 0 - 10 = -10$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -10)$.

2. Пересечение с осью $x$: подставим $y=0$ в уравнение.

$0 = 2x - 10$

$2x = 10$

$x = 5$

Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(5, 0)$.

3. Построение графика: на координатной плоскости отмечаем точки $(0, -10)$ и $(5, 0)$ и соединяем их прямой линией.

Ответ: Координаты точки пересечения с осью $x$: $(5, 0)$. Координаты точки пересечения с осью $y$: $(0, -10)$.

б) $y = -\frac{2}{3}x + 4$

1. Пересечение с осью $y$: подставим $x=0$ в уравнение.

$y = -\frac{2}{3} \cdot 0 + 4 = 4$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 4)$.

2. Пересечение с осью $x$: подставим $y=0$ в уравнение.

$0 = -\frac{2}{3}x + 4$

$\frac{2}{3}x = 4$

$x = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(6, 0)$.

3. Построение графика: на координатной плоскости отмечаем точки $(0, 4)$ и $(6, 0)$ и соединяем их прямой линией.

Ответ: Координаты точки пересечения с осью $x$: $(6, 0)$. Координаты точки пересечения с осью $y$: $(0, 4)$.

в) $y = 4x + 2$

1. Пересечение с осью $y$: подставим $x=0$ в уравнение.

$y = 4 \cdot 0 + 2 = 2$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 2)$.

2. Пересечение с осью $x$: подставим $y=0$ в уравнение.

$0 = 4x + 2$

$4x = -2$

$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(-\frac{1}{2}, 0)$.

3. Построение графика: на координатной плоскости отмечаем точки $(0, 2)$ и $(-\frac{1}{2}, 0)$ и соединяем их прямой линией.

Ответ: Координаты точки пересечения с осью $x$: $(-\frac{1}{2}, 0)$. Координаты точки пересечения с осью $y$: $(0, 2)$.

г) $y = -\frac{1}{2}x - 1$

1. Пересечение с осью $y$: подставим $x=0$ в уравнение.

$y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 1 = -1$

Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -1)$.

2. Пересечение с осью $x$: подставим $y=0$ в уравнение.

$0 = -\frac{1}{2}x - 1$

$\frac{1}{2}x = -1$

$x = -2$

Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(-2, 0)$.

3. Построение графика: на координатной плоскости отмечаем точки $(0, -1)$ и $(-2, 0)$ и соединяем их прямой линией.

Ответ: Координаты точки пересечения с осью $x$: $(-2, 0)$. Координаты точки пересечения с осью $y$: $(0, -1)$.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (622-623)

622 На рисунке 4.24 изображены следующие прямые:

$y = \frac{1}{2}x, y = 2x - 4,$

$y = -x + 1, y = -\frac{1}{2}x - 4.$

Соотнесите прямые с уравнениями.

Рис. 4.24

Задача 622

Для того чтобы соотнести каждое уравнение с прямой на графике, проанализируем их характеристики: угловой коэффициент $k$ (отвечает за наклон) и свободный член $b$ (отвечает за точку пересечения с осью $y$) в общем виде уравнения прямой $y = kx + b$.

Уравнение $y = \frac{1}{2}x$. Здесь угловой коэффициент $k = \frac{1}{2} > 0$, следовательно, прямая возрастает (идет вверх слева направо). Свободный член $b=0$, значит, прямая проходит через начало координат $(0, 0)$. Этим условиям на графике соответствует прямая ①.

Уравнение $y = 2x - 4$. Здесь угловой коэффициент $k = 2 > 0$, значит, прямая возрастает. Свободный член $b = -4$, следовательно, прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$. Этим условиям на графике соответствует прямая ④.

Уравнение $y = -x + 1$. Здесь угловой коэффициент $k = -1 < 0$, следовательно, прямая убывает (идет вниз слева направо). Свободный член $b = 1$, значит, прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$. Этим условиям на графике соответствует прямая ③.

Уравнение $y = -\frac{1}{2}x - 4$. Здесь угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2} < 0$, следовательно, прямая убывает. Свободный член $b = -4$, значит, прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$. Этим условиям на графике соответствует прямая ②.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x$ – прямая ①; $y = 2x - 4$ – прямая ④; $y = -x + 1$ – прямая ③; $y = -\frac{1}{2}x - 4$ – прямая ②.

Задача 623

Хотя изображение с неверно построенными прямыми (рис. 4.25) не представлено, можно объяснить, как сразу обнаружить ошибку в построении для каждой функции. Для этого достаточно проверить два ключевых свойства графика линейной функции, которые легко определить по её уравнению: точку пересечения с осью $y$ и направление наклона (возрастание/убывание).

$y = 3x$

Это прямая пропорциональность. Ошибку в её построении можно сразу увидеть, если график не проходит через начало координат $(0, 0)$, так как в уравнении свободный член $b=0$. Также, поскольку угловой коэффициент $k=3$ положителен, прямая должна быть возрастающей. Если она убывает, это явная ошибка.

Ответ: Можно сразу увидеть, что прямая построена неверно, если она не проходит через начало координат $(0, 0)$ или если она не является возрастающей.

$y = \frac{1}{2}x + 2$

Ошибку в построении этого графика можно заметить, проверив точку пересечения с осью $y$. Свободный член $b=2$, поэтому прямая должна пересекать ось ординат в точке $(0, 2)$. Если на графике точка пересечения другая, это ошибка. Кроме того, угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$ положителен, следовательно, функция должна возрастать. Если прямая на графике убывает, она построена неверно.

Ответ: Можно сразу увидеть, что прямая построена неверно, если она не пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$ или если она не является возрастающей.

$y = 2x - 1$

Ошибка в построении видна сразу, если проверить точку пересечения с осью $y$. Свободный член $b=-1$, значит, график должен пересекать ось $y$ в точке $(0, -1)$. Если пересечение происходит в другой точке (например, в положительной части оси), это ошибка. Также, угловой коэффициент $k=2$ положителен, поэтому прямая должна быть возрастающей.

Ответ: Можно сразу увидеть, что прямая построена неверно, если она не пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$ или если она не является возрастающей.

$y = 3 - x$

Сначала представим функцию в стандартном виде $y = -x + 3$. Ошибку можно обнаружить, проверив два момента. Во-первых, точка пересечения с осью $y$ должна быть $(0, 3)$, так как $b=3$. Если это не так, график неверен. Во-вторых, угловой коэффициент $k=-1$ отрицателен, поэтому функция должна быть убывающей. Если на графике прямая возрастает, это явная ошибка, которая часто возникает из-за невнимательности к знаку "минус" перед $x$.

Ответ: Можно сразу увидеть, что прямая построена неверно, если она не пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$ или если она не является убывающей.

623 Ученик допустил ошибки при построении прямых $y = 3x$, $y = \frac{1}{2}x + 2$, $y = 2x - 1$, $y = 3 - x$ (рис. 4.25). В каждом случае объясните, почему можно сразу увидеть, что прямая построена неверно.

a) $y = 3x$

б) $y = \frac{1}{2}x + 2$

в) $y = 2x - 1$

г) $y = 3 - x$

Рис. 4.25

Для анализа правильности построения графиков линейных функций вида $y = kx + b$ можно использовать два основных признака:

• Коэффициент $b$ показывает точку пересечения прямой с осью ординат (осью $y$). Прямая должна проходить через точку $(0, b)$.
• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (прямая идет вверх слева направо). Если $k < 0$, функция убывает (прямая идет вниз слева направо).

Уравнение прямой: $y = 3x$. В этом уравнении угловой коэффициент $k=3$ и свободный член $b=0$.
1. Так как $b=0$, прямая должна проходить через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. На графике же прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$.
2. Так как угловой коэффициент $k=3 > 0$, функция должна быть возрастающей. На графике изображена убывающая прямая.
Обе эти характеристики указывают на неверное построение.

Ответ: Прямая построена неверно, так как она должна проходить через начало координат $(0, 0)$ и быть возрастающей (поскольку коэффициент $k=3 > 0$), а на рисунке изображена убывающая прямая, пересекающая ось $y$ в точке $(0, 1)$.

Уравнение прямой: $y = \frac{1}{2}x + 2$. В этом уравнении $k = \frac{1}{2}$ и $b=2$.
Так как свободный член $b=2$, прямая должна пересекать ось $y$ в точке $(0, 2)$, то есть выше начала координат. На графике же прямая пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой.
Хотя наклон прямой на графике верный (функция возрастающая, так как $k = \frac{1}{2} > 0$), ошибка в точке пересечения с осью $y$ говорит о том, что график построен неверно.

Ответ: Прямая построена неверно, так как она должна пересекать ось ординат в точке $(0, 2)$, а на графике она пересекает ее ниже начала координат.

Уравнение прямой: $y = 2x - 1$. В этом уравнении $k=2$ и $b=-1$.
Так как свободный член $b=-1$, прямая должна пересекать ось $y$ в точке $(0, -1)$, то есть ниже начала координат. На графике же прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$.
Наклон прямой на графике (возрастающая) соответствует знаку коэффициента $k=2 > 0$, но точка пересечения с осью $y$ выбрана неверно.

Ответ: Прямая построена неверно, так как она должна пересекать ось ординат в точке $(0, -1)$, а на графике она пересекает ее в точке $(0, 1)$.

Уравнение прямой: $y = 3 - x$. Перепишем его в стандартном виде $y = -1x + 3$. В этом уравнении $k=-1$ и $b=3$.
Так как угловой коэффициент $k=-1 < 0$, функция должна быть убывающей (прямая должна идти вниз слева направо). На графике же изображена возрастающая прямая.
Хотя точка пересечения с осью $y$ на графике $(0, 3)$ соответствует значению $b=3$, неверный наклон прямой является грубой ошибкой.

Ответ: Прямая построена неверно, так как ее угловой коэффициент $k=-1$ отрицателен, следовательно, функция должна быть убывающей, а на графике изображена возрастающая прямая.

624 Даны уравнения прямых:

$y = x - 4, y = -x - 4, y = 2x - 4, y = -\frac{1}{2}x - 4.$

1) Есть ли среди данных прямых параллельные прямые?

2) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

3) Постройте эти прямые.

1) Есть ли среди данных прямых параллельные прямые?

Условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, является равенство их угловых коэффициентов ($k_1 = k_2$) при неравенстве свободных членов ($b_1 \neq b_2$).

Найдем угловые коэффициенты $k$ для каждого из данных уравнений:

• Для прямой $y = x - 4$ угловой коэффициент $k_1 = 1$.
• Для прямой $y = -x - 4$ угловой коэффициент $k_2 = -1$.
• Для прямой $y = 2x - 4$ угловой коэффициент $k_3 = 2$.
• Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$ угловой коэффициент $k_4 = \frac{1}{2}$.

Сравнивая угловые коэффициенты, мы видим, что все они различны: $k_1 \neq k_2 \neq k_3 \neq k_4$. Поскольку ни у одной пары прямых угловые коэффициенты не совпадают, параллельных прямых среди них нет.

Ответ: Нет, среди данных прямых параллельных нет.

2) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

Прямая пересекает ось ординат (ось $y$) в точке, абсцисса которой равна нулю ($x=0$). Чтобы найти ординату этой точки, нужно подставить $x=0$ в уравнение каждой прямой. Также стоит отметить, что в уравнении прямой $y = kx + b$ коэффициент $b$ как раз и является ординатой точки пересечения с осью $y$.

Проверим это для каждой прямой:

• Для $y = x - 4$: при $x=0$, $y = 0 - 4 = -4$.
• Для $y = -x - 4$: при $x=0$, $y = -0 - 4 = -4$.
• Для $y = 2x - 4$: при $x=0$, $y = 2(0) - 4 = -4$.
• Для $y = \frac{1}{2}x - 4$: при $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 4 = -4$.

Все четыре прямые имеют одинаковый свободный член $b = -4$, поэтому все они пересекают ось $y$ в одной и той же точке.

Ответ: Каждая из данных прямых пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, -4)$.

3) Постройте эти прямые.

Для построения прямой достаточно знать две точки, через которые она проходит. Одну точку мы уже знаем для всех прямых — это точка пересечения с осью $y$: $(0, -4)$. Найдем вторую точку для каждой прямой, найдя точку пересечения с осью $x$ (то есть, где $y=0$).

Прямая 1: $y = x - 4$. Если $y=0$, то $x-4=0$, откуда $x=4$. Вторая точка — $(4, 0)$.

Прямая 2: $y = -x - 4$. Если $y=0$, то $-x-4=0$, откуда $x=-4$. Вторая точка — $(-4, 0)$.

Прямая 3: $y = 2x - 4$. Если $y=0$, то $2x-4=0$, откуда $x=2$. Вторая точка — $(2, 0)$.

Прямая 4: $y = \frac{1}{2}x - 4$. Если $y=0$, то $\frac{1}{2}x-4=0$, откуда $x=8$. Вторая точка — $(8, 0)$.

Теперь построим графики этих прямых на одной координатной плоскости.

Ответ: Графики прямых, построенные по двум точкам для каждой, представлены на рисунке выше. Все прямые пересекаются в одной точке $(0, -4)$.