Номер 622, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.3. Уравнение прямой вида у = kх + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 622, страница 186.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (622-623)

622 На рисунке 4.24 изображены следующие прямые:

$y = \frac{1}{2}x, y = 2x - 4,$

$y = -x + 1, y = -\frac{1}{2}x - 4.$

Соотнесите прямые с уравнениями.

Рис. 4.24

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Задача 622

Для того чтобы соотнести каждое уравнение с прямой на графике, проанализируем их характеристики: угловой коэффициент $k$ (отвечает за наклон) и свободный член $b$ (отвечает за точку пересечения с осью $y$) в общем виде уравнения прямой $y = kx + b$.

Уравнение $y = \frac{1}{2}x$. Здесь угловой коэффициент $k = \frac{1}{2} > 0$, следовательно, прямая возрастает (идет вверх слева направо). Свободный член $b=0$, значит, прямая проходит через начало координат $(0, 0)$. Этим условиям на графике соответствует прямая ①.

Уравнение $y = 2x - 4$. Здесь угловой коэффициент $k = 2 > 0$, значит, прямая возрастает. Свободный член $b = -4$, следовательно, прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$. Этим условиям на графике соответствует прямая ④.

Уравнение $y = -x + 1$. Здесь угловой коэффициент $k = -1 < 0$, следовательно, прямая убывает (идет вниз слева направо). Свободный член $b = 1$, значит, прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$. Этим условиям на графике соответствует прямая ③.

Уравнение $y = -\frac{1}{2}x - 4$. Здесь угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2} < 0$, следовательно, прямая убывает. Свободный член $b = -4$, значит, прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$. Этим условиям на графике соответствует прямая ②.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x$ – прямая ①; $y = 2x - 4$ – прямая ④; $y = -x + 1$ – прямая ③; $y = -\frac{1}{2}x - 4$ – прямая ②.

Задача 623

Хотя изображение с неверно построенными прямыми (рис. 4.25) не представлено, можно объяснить, как сразу обнаружить ошибку в построении для каждой функции. Для этого достаточно проверить два ключевых свойства графика линейной функции, которые легко определить по её уравнению: точку пересечения с осью $y$ и направление наклона (возрастание/убывание).

$y = 3x$

Это прямая пропорциональность. Ошибку в её построении можно сразу увидеть, если график не проходит через начало координат $(0, 0)$, так как в уравнении свободный член $b=0$. Также, поскольку угловой коэффициент $k=3$ положителен, прямая должна быть возрастающей. Если она убывает, это явная ошибка.

Ответ: Можно сразу увидеть, что прямая построена неверно, если она не проходит через начало координат $(0, 0)$ или если она не является возрастающей.

$y = \frac{1}{2}x + 2$

Ошибку в построении этого графика можно заметить, проверив точку пересечения с осью $y$. Свободный член $b=2$, поэтому прямая должна пересекать ось ординат в точке $(0, 2)$. Если на графике точка пересечения другая, это ошибка. Кроме того, угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$ положителен, следовательно, функция должна возрастать. Если прямая на графике убывает, она построена неверно.

Ответ: Можно сразу увидеть, что прямая построена неверно, если она не пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$ или если она не является возрастающей.

$y = 2x - 1$

Ошибка в построении видна сразу, если проверить точку пересечения с осью $y$. Свободный член $b=-1$, значит, график должен пересекать ось $y$ в точке $(0, -1)$. Если пересечение происходит в другой точке (например, в положительной части оси), это ошибка. Также, угловой коэффициент $k=2$ положителен, поэтому прямая должна быть возрастающей.

Ответ: Можно сразу увидеть, что прямая построена неверно, если она не пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$ или если она не является возрастающей.

$y = 3 - x$

Сначала представим функцию в стандартном виде $y = -x + 3$. Ошибку можно обнаружить, проверив два момента. Во-первых, точка пересечения с осью $y$ должна быть $(0, 3)$, так как $b=3$. Если это не так, график неверен. Во-вторых, угловой коэффициент $k=-1$ отрицателен, поэтому функция должна быть убывающей. Если на графике прямая возрастает, это явная ошибка, которая часто возникает из-за невнимательности к знаку "минус" перед $x$.

Ответ: Можно сразу увидеть, что прямая построена неверно, если она не пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$ или если она не является убывающей.