Номер 623, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.3. Уравнение прямой вида у = kх + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 623, страница 186.

Условие.

623 Ученик допустил ошибки при построении прямых $y = 3x$, $y = \frac{1}{2}x + 2$, $y = 2x - 1$, $y = 3 - x$ (рис. 4.25). В каждом случае объясните, почему можно сразу увидеть, что прямая построена неверно.

a) $y = 3x$

б) $y = \frac{1}{2}x + 2$

в) $y = 2x - 1$

г) $y = 3 - x$

Рис. 4.25

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для анализа правильности построения графиков линейных функций вида $y = kx + b$ можно использовать два основных признака:

• Коэффициент $b$ показывает точку пересечения прямой с осью ординат (осью $y$). Прямая должна проходить через точку $(0, b)$.
• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (прямая идет вверх слева направо). Если $k < 0$, функция убывает (прямая идет вниз слева направо).

а)

Уравнение прямой: $y = 3x$. В этом уравнении угловой коэффициент $k=3$ и свободный член $b=0$.
1. Так как $b=0$, прямая должна проходить через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. На графике же прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$.
2. Так как угловой коэффициент $k=3 > 0$, функция должна быть возрастающей. На графике изображена убывающая прямая.
Обе эти характеристики указывают на неверное построение.

Ответ: Прямая построена неверно, так как она должна проходить через начало координат $(0, 0)$ и быть возрастающей (поскольку коэффициент $k=3 > 0$), а на рисунке изображена убывающая прямая, пересекающая ось $y$ в точке $(0, 1)$.

б)

Уравнение прямой: $y = \frac{1}{2}x + 2$. В этом уравнении $k = \frac{1}{2}$ и $b=2$.
Так как свободный член $b=2$, прямая должна пересекать ось $y$ в точке $(0, 2)$, то есть выше начала координат. На графике же прямая пересекает ось $y$ в точке с отрицательной ординатой.
Хотя наклон прямой на графике верный (функция возрастающая, так как $k = \frac{1}{2} > 0$), ошибка в точке пересечения с осью $y$ говорит о том, что график построен неверно.

Ответ: Прямая построена неверно, так как она должна пересекать ось ординат в точке $(0, 2)$, а на графике она пересекает ее ниже начала координат.

в)

Уравнение прямой: $y = 2x - 1$. В этом уравнении $k=2$ и $b=-1$.
Так как свободный член $b=-1$, прямая должна пересекать ось $y$ в точке $(0, -1)$, то есть ниже начала координат. На графике же прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$.
Наклон прямой на графике (возрастающая) соответствует знаку коэффициента $k=2 > 0$, но точка пересечения с осью $y$ выбрана неверно.

Ответ: Прямая построена неверно, так как она должна пересекать ось ординат в точке $(0, -1)$, а на графике она пересекает ее в точке $(0, 1)$.

г)

Уравнение прямой: $y = 3 - x$. Перепишем его в стандартном виде $y = -1x + 3$. В этом уравнении $k=-1$ и $b=3$.
Так как угловой коэффициент $k=-1 < 0$, функция должна быть убывающей (прямая должна идти вниз слева направо). На графике же изображена возрастающая прямая.
Хотя точка пересечения с осью $y$ на графике $(0, 3)$ соответствует значению $b=3$, неверный наклон прямой является грубой ошибкой.

Ответ: Прямая построена неверно, так как ее угловой коэффициент $k=-1$ отрицателен, следовательно, функция должна быть убывающей, а на графике изображена возрастающая прямая.