Номер 625, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.3. Уравнение прямой вида у = kх + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 625, страница 187.

Условие.

625 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

На рисунке 4.26 изображены прямые a, b, c и d. Соотнесите каждую из них с одним из уравнений:
$y = 2x + 2$, $y = -2x + 2$,
$y = \frac{1}{3}x + 2$, $y = -\frac{1}{3}x + 2$.

Рис. 4.26

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

625

Для того чтобы соотнести каждую прямую с одним из уравнений, проанализируем общий вид уравнения прямой $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент, который определяет наклон прямой, а $b$ – это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Во всех четырех предложенных уравнениях ($y = 2x + 2$, $y = -2x + 2$, $y = \frac{1}{3}x + 2$ и $y = -\frac{1}{3}x + 2$) свободный член $b$ равен 2. Это означает, что все четыре прямые пересекают ось $y$ в точке с координатой $y=2$. На графике мы видим, что все прямые $a, b, c$ и $d$ действительно пересекаются в одной точке на оси $y$, и эта точка – $(0; 2)$.

Теперь проанализируем угловые коэффициенты $k$:

1. Если угловой коэффициент $k > 0$, то прямая возрастает (направлена вправо и вверх). Этому условию соответствуют прямые $c$ и $d$ и уравнения с положительными коэффициентами $k=2$ и $k=\frac{1}{3}$. Чем больше значение $k$, тем круче наклон прямой. Так как $2 > \frac{1}{3}$, более крутая прямая $c$ соответствует уравнению $y = 2x + 2$, а более пологая прямая $d$ соответствует уравнению $y = \frac{1}{3}x + 2$.

2. Если угловой коэффициент $k < 0$, то прямая убывает (направлена вправо и вниз). Этому условию соответствуют прямые $a$ и $b$ и уравнения с отрицательными коэффициентами $k=-2$ и $k=-\frac{1}{3}$. Крутизна прямой в этом случае определяется модулем коэффициента $|k|$. Чем больше $|k|$, тем круче прямая. Сравним модули: $|-2| = 2$ и $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$. Так как $2 > \frac{1}{3}$, более крутая прямая $b$ соответствует уравнению $y = -2x + 2$, а более пологая прямая $a$ — уравнению $y = -\frac{1}{3}x + 2$.

Ответ: $a$ — $y = -\frac{1}{3}x + 2$; $b$ — $y = -2x + 2$; $c$ — $y = 2x + 2$; $d$ — $y = \frac{1}{3}x + 2$.

626

Поскольку текст задания 626 представлен не полностью, будем считать, что оно относится к прямым из задания 625. Требуется определить, пересекаются ли данные прямые, и если да, то найти координаты точки пересечения и выполнить проверку.

Из графика и анализа уравнений в задании 625 следует, что все четыре прямые ($a, b, c, d$) пересекаются в одной общей точке. Эта точка является точкой их пересечения с осью $y$.

Чтобы найти координаты этой точки аналитически, можно взять любое из уравнений и найти значение $y$ при $x=0$. Возьмем уравнение $y = 2x + 2$:

$y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$

Следовательно, все прямые пересекаются в точке с координатами $(0; 2)$.

Проверим результат, подставив координаты точки $(0; 2)$ во все четыре уравнения:

Для $y = 2x + 2$: $2 = 2 \cdot 0 + 2 \implies 2 = 2$. Верно.

Для $y = -2x + 2$: $2 = -2 \cdot 0 + 2 \implies 2 = 2$. Верно.

Для $y = \frac{1}{3}x + 2$: $2 = \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \implies 2 = 2$. Верно.

Для $y = -\frac{1}{3}x + 2$: $2 = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \implies 2 = 2$. Верно.

Все уравнения обращаются в верные равенства, значит, точка пересечения найдена правильно.

Ответ: Да, данные прямые пересекаются. Координаты точки пересечения: $(0; 2)$.