Номер 627, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.3. Уравнение прямой вида у = kх + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 627, страница 187.

Условие.

627 а) Парусная лодка в некоторый момент времени находится в 20 км от наблюдателя и движется в направлении к нему со скоростью 9 км/ч.

1) Обозначьте расстояние между лодкой и наблюдателем (в километрах) буквой $y$, а время движения лодки (в часах) буквой $x$ и составьте уравнение, связывающее $y$ и $x$. Определите значение $y$ при $x = 2$, $x = -1$, $x = 3$. Прокомментируйте в соответствии с условием задачи каждый ответ.

2) Постройте график уравнения.

б) После сильных дождей вода в реке поднялась над обычным уровнем на 1,5 м. Через некоторое время уровень начал снижаться в среднем на 20 см в час.

1) Обозначьте высоту воды над обычным уровнем (в метрах) буквой $y$, а время снижения уровня воды (в часах) буквой $x$ и составьте уравнение, связывающее $y$ и $x$. Определите, на какой высоте над обычным уровнем окажется вода через 4 ч после начала снижения; через какое время вода достигнет обычного уровня.

2) Постройте график уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

1) Обозначим расстояние между лодкой и наблюдателем (в км) как $y$, а время движения лодки (в часах) как $x$.

В начальный момент времени ($x=0$), расстояние составляет 20 км. Лодка движется к наблюдателю со скоростью 9 км/ч, это означает, что расстояние между ними уменьшается. За время $x$ лодка пройдет расстояние, равное $9x$ км. Таким образом, расстояние $y$ через $x$ часов будет равно начальному расстоянию минус пройденное расстояние.

Уравнение, связывающее $y$ и $x$, имеет вид:

$y = 20 - 9x$

Теперь определим значение $y$ для заданных значений $x$:

• При $x = 2$:

  $y = 20 - 9 \cdot 2 = 20 - 18 = 2$ км.

  Комментарий: Через 2 часа после начала движения лодка будет находиться на расстоянии 2 км от наблюдателя. Это логично, так как она приблизилась к нему.

• При $x = -1$:

  $y = 20 - 9 \cdot (-1) = 20 + 9 = 29$ км.

  Комментарий: $x = -1$ означает время за 1 час до начального момента наблюдения. В этот момент лодка была на 9 км дальше от наблюдателя, то есть на расстоянии 29 км. Этот результат имеет физический смысл.

• При $x = 3$:

  $y = 20 - 9 \cdot 3 = 20 - 27 = -7$ км.

  Комментарий: Отрицательное значение расстояния означает, что лодка уже миновала наблюдателя. Лодка достигнет наблюдателя ($y=0$) через $x = 20/9 \approx 2.22$ часа. Следовательно, в момент времени $x=3$ часа, она будет уже на 7 км за наблюдателем. Расстояние как физическая величина не может быть отрицательным, поэтому в этот момент оно составит 7 км.

Ответ: уравнение $y = 20 - 9x$. При $x=2, y=2$ км; при $x=-1, y=29$ км; при $x=3, y=-7$ км (что означает, лодка прошла мимо наблюдателя и находится на расстоянии 7 км от него).

2) Графиком уравнения $y = 20 - 9x$ является прямая линия. Для ее построения достаточно найти две точки.

Возьмем точки, рассчитанные ранее:

• Точка пересечения с осью $y$ (начальный момент): при $x=0, y=20$. Координаты точки $(0, 20)$.

• Точка пересечения с осью $x$ (момент встречи): при $y=0$, $20 - 9x = 0 \implies x = 20/9 \approx 2.22$. Координаты точки $(20/9, 0)$.

Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить эти две точки и провести через них прямую линию. Ось абсцисс ($x$) будет представлять время в часах, а ось ординат ($y$) – расстояние в километрах. График будет убывающим, так как угловой коэффициент равен -9.

Ответ: Графиком является прямая линия, проходящая через точки $(0, 20)$ и $(20/9, 0)$.

б)

1) Обозначим высоту воды над обычным уровнем (в метрах) как $y$, а время снижения уровня воды (в часах) как $x$.

В начальный момент времени ($x=0$) вода находится на высоте 1,5 м над обычным уровнем. Уровень снижается со скоростью 20 см в час. Переведем скорость снижения в метры в час, чтобы единицы измерения были одинаковыми:

20 см/ч = 0,2 м/ч.

За время $x$ уровень воды снизится на $0.2x$ метров. Таким образом, высота $y$ через $x$ часов будет равна начальной высоте минус величина снижения.

Уравнение, связывающее $y$ и $x$, имеет вид:

$y = 1.5 - 0.2x$

Определим, на какой высоте окажется вода через 4 часа после начала снижения. Для этого подставим $x=4$ в уравнение:

$y = 1.5 - 0.2 \cdot 4 = 1.5 - 0.8 = 0.7$ м.

Определим, через какое время вода достигнет обычного уровня. Обычный уровень соответствует высоте $y=0$:

$0 = 1.5 - 0.2x$

$0.2x = 1.5$

$x = 1.5 / 0.2 = 15 / 2 = 7.5$ часов.

Ответ: уравнение $y = 1.5 - 0.2x$. Через 4 часа вода окажется на высоте 0,7 м над обычным уровнем. Вода достигнет обычного уровня через 7,5 часов.

2) Графиком уравнения $y = 1.5 - 0.2x$ является прямая линия. Для ее построения найдем две точки.

• Точка пересечения с осью $y$ (начальный момент): при $x=0, y=1.5$. Координаты точки $(0, 1.5)$.

• Точка пересечения с осью $x$ (момент достижения обычного уровня): при $y=0, x=7.5$. Координаты точки $(7.5, 0)$.

В контексте задачи время $x$ и высота $y$ не могут быть отрицательными, поэтому график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 1.5)$ и $(7.5, 0)$. Ось абсцисс ($x$) – время в часах, ось ординат ($y$) – высота над обычным уровнем в метрах.

Ответ: Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 1.5)$ и $(7.5, 0)$.