Номер 624, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.3. Уравнение прямой вида у = kх + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 624, страница 186.

Условие.

624 Даны уравнения прямых:

$y = x - 4, y = -x - 4, y = 2x - 4, y = -\frac{1}{2}x - 4.$

1) Есть ли среди данных прямых параллельные прямые?

2) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

3) Постройте эти прямые.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Есть ли среди данных прямых параллельные прямые?

Условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, является равенство их угловых коэффициентов ($k_1 = k_2$) при неравенстве свободных членов ($b_1 \neq b_2$).

Найдем угловые коэффициенты $k$ для каждого из данных уравнений:

• Для прямой $y = x - 4$ угловой коэффициент $k_1 = 1$.
• Для прямой $y = -x - 4$ угловой коэффициент $k_2 = -1$.
• Для прямой $y = 2x - 4$ угловой коэффициент $k_3 = 2$.
• Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$ угловой коэффициент $k_4 = \frac{1}{2}$.

Сравнивая угловые коэффициенты, мы видим, что все они различны: $k_1 \neq k_2 \neq k_3 \neq k_4$. Поскольку ни у одной пары прямых угловые коэффициенты не совпадают, параллельных прямых среди них нет.

Ответ: Нет, среди данных прямых параллельных нет.

2) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

Прямая пересекает ось ординат (ось $y$) в точке, абсцисса которой равна нулю ($x=0$). Чтобы найти ординату этой точки, нужно подставить $x=0$ в уравнение каждой прямой. Также стоит отметить, что в уравнении прямой $y = kx + b$ коэффициент $b$ как раз и является ординатой точки пересечения с осью $y$.

Проверим это для каждой прямой:

• Для $y = x - 4$: при $x=0$, $y = 0 - 4 = -4$.
• Для $y = -x - 4$: при $x=0$, $y = -0 - 4 = -4$.
• Для $y = 2x - 4$: при $x=0$, $y = 2(0) - 4 = -4$.
• Для $y = \frac{1}{2}x - 4$: при $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 4 = -4$.

Все четыре прямые имеют одинаковый свободный член $b = -4$, поэтому все они пересекают ось $y$ в одной и той же точке.

Ответ: Каждая из данных прямых пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, -4)$.

3) Постройте эти прямые.

Для построения прямой достаточно знать две точки, через которые она проходит. Одну точку мы уже знаем для всех прямых — это точка пересечения с осью $y$: $(0, -4)$. Найдем вторую точку для каждой прямой, найдя точку пересечения с осью $x$ (то есть, где $y=0$).

Прямая 1: $y = x - 4$. Если $y=0$, то $x-4=0$, откуда $x=4$. Вторая точка — $(4, 0)$.

Прямая 2: $y = -x - 4$. Если $y=0$, то $-x-4=0$, откуда $x=-4$. Вторая точка — $(-4, 0)$.

Прямая 3: $y = 2x - 4$. Если $y=0$, то $2x-4=0$, откуда $x=2$. Вторая точка — $(2, 0)$.

Прямая 4: $y = \frac{1}{2}x - 4$. Если $y=0$, то $\frac{1}{2}x-4=0$, откуда $x=8$. Вторая точка — $(8, 0)$.

Теперь построим графики этих прямых на одной координатной плоскости.

Ответ: Графики прямых, построенные по двум точкам для каждой, представлены на рисунке выше. Все прямые пересекаются в одной точке $(0, -4)$.