Номер 626, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.3. Уравнение прямой вида у = kх + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 626, страница 187.

Условие.

626 Определите, пересекаются ли данные прямые; если пересекаются, то постройте эти прямые и найдите координаты точки пересечения; проверьте результат, подставив найденные координаты в уравнения:

Рис. 4.

а) $y = 2x - 5$ и $y = 2x + 5$

б) $y = -x + 1$ и $y = 3x + 9$

в) $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = x - 3$

г) $y = -\frac{1}{3}x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = 2x - 5$ и $y = 2x + 5$

Уравнения прямых заданы в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.
Для первой прямой $y = 2x - 5$, угловой коэффициент $k_1 = 2$.
Для второй прямой $y = 2x + 5$, угловой коэффициент $k_2 = 2$.
Поскольку угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены $b$ различны ($-5 \neq 5$), прямые параллельны друг другу и не имеют точек пересечения.

Ответ: Прямые не пересекаются.

б) $y = -x + 1$ и $y = 3x + 9$

Угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 = -1$ и $k_2 = 3$), следовательно, прямые пересекаются.
Чтобы найти координаты точки пересечения, приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих прямых совпадают:
$-x + 1 = 3x + 9$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$1 - 9 = 3x + x$
$-8 = 4x$
$x = -2$
Теперь найдем координату $y$, подставив найденное значение $x = -2$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:
$y = -(-2) + 1 = 2 + 1 = 3$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-2; 3)$.

Для построения прямых на координатной плоскости найдем по две точки для каждой из них:
1. Для прямой $y = -x + 1$:
- при $x = 0$, $y = -0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
- при $x = 1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
2. Для прямой $y = 3x + 9$:
- при $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 + 9 = 9$. Точка $(0; 9)$.
- при $x = -3$, $y = 3(-3) + 9 = -9 + 9 = 0$. Точка $(-3; 0)$.
Построив две прямые, проходящие через эти пары точек, мы увидим, что они пересекаются в точке $(-2; 3)$.

Проверим результат, подставив координаты точки пересечения $(-2; 3)$ в оба уравнения:
1. $y = -x + 1 \Rightarrow 3 = -(-2) + 1 \Rightarrow 3 = 2 + 1 \Rightarrow 3 = 3$. Верно.
2. $y = 3x + 9 \Rightarrow 3 = 3(-2) + 9 \Rightarrow 3 = -6 + 9 \Rightarrow 3 = 3$. Верно.
Координаты найдены правильно.

Ответ: Прямые пересекаются в точке $(-2; 3)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = x - 3$

Угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 = -\frac{1}{2}$ и $k_2 = 1$), значит, прямые пересекаются.
Найдем координаты точки пересечения, приравняв правые части уравнений:
$-\frac{1}{2}x + 3 = x - 3$
$3 + 3 = x + \frac{1}{2}x$
$6 = \frac{3}{2}x$
$x = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$
Найдем $y$, подставив $x = 4$ во второе уравнение:
$y = 4 - 3 = 1$
Точка пересечения имеет координаты $(4; 1)$.

Для построения прямых найдем по две точки для каждой:
1. Для прямой $y = -\frac{1}{2}x + 3$:
- при $x = 0$, $y = 3$. Точка $(0; 3)$.
- при $x = 2$, $y = -\frac{1}{2}(2) + 3 = -1 + 3 = 2$. Точка $(2; 2)$.
2. Для прямой $y = x - 3$:
- при $x = 0$, $y = -3$. Точка $(0; -3)$.
- при $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка $(3; 0)$.
Построив прямые через эти точки, можно убедиться, что они пересекаются в точке $(4; 1)$.

Проверим результат подстановкой координат $(4; 1)$ в оба уравнения:
1. $y = -\frac{1}{2}x + 3 \Rightarrow 1 = -\frac{1}{2}(4) + 3 \Rightarrow 1 = -2 + 3 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.
2. $y = x - 3 \Rightarrow 1 = 4 - 3 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.

Ответ: Прямые пересекаются в точке $(4; 1)$.

г) $y = -\frac{1}{3}x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 3$

Угловые коэффициенты обеих прямых одинаковы: $k_1 = k_2 = -\frac{1}{3}$.
Свободные члены различны: $b_1 = 1$ и $b_2 = 3$.
Поскольку угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: Прямые не пересекаются.