Страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

632 Постройте график уравнения:

а) $|x| + |y| = 1;$

б) $|x| - |y| = 1.$

Указание. Рассмотрите график уравнения отдельно в каждой координатной четверти.

а) Для построения графика уравнения $|x| + |y| = 1$ воспользуемся указанием и рассмотрим его в каждой из четырех координатных четвертей, раскрывая модули в соответствии со знаками переменных $x$ и $y$.

1. Первая координатная четверть ($x \ge 0$, $y \ge 0$):
Уравнение принимает вид $x + y = 1$, или $y = 1 - x$. Это уравнение прямой. В пределах первой четверти это будет отрезок прямой, соединяющий точки пересечения с осями координат.
При $x = 0$ получаем $y = 1$ (точка $(0, 1)$).
При $y = 0$ получаем $x = 1$ (точка $(1, 0)$).
Таким образом, в первой четверти график — это отрезок, соединяющий точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

2. Вторая координатная четверть ($x < 0$, $y \ge 0$):
Уравнение принимает вид $-x + y = 1$, или $y = x + 1$.
При $x = 0$ получаем $y = 1$ (точка $(0, 1)$).
При $y = 0$ получаем $x = -1$ (точка $(-1, 0)$).
В этой четверти график — это отрезок, соединяющий точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

3. Третья координатная четверть ($x < 0$, $y < 0$):
Уравнение принимает вид $-x - y = 1$, или $y = -x - 1$.
При $x = 0$ получаем $y = -1$ (точка $(0, -1)$).
При $y = 0$ получаем $x = -1$ (точка $(-1, 0)$).
В этой четверти график — это отрезок, соединяющий точки $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

4. Четвертая координатная четверть ($x \ge 0$, $y < 0$):
Уравнение принимает вид $x - y = 1$, или $y = x - 1$.
При $x = 0$ получаем $y = -1$ (точка $(0, -1)$).
При $y = 0$ получаем $x = 1$ (точка $(1, 0)$).
В этой четверти график — это отрезок, соединяющий точки $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

Объединяя все четыре отрезка, мы получаем замкнутую фигуру. Это квадрат, вершины которого находятся в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Ответ: Графиком уравнения является квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$, $(0, -1)$.

б) Для построения графика уравнения $|x| - |y| = 1$ также рассмотрим его в каждой из четырех координатных четвертей.

1. Первая координатная четверть ($x \ge 0$, $y \ge 0$):
Уравнение принимает вид $x - y = 1$, или $y = x - 1$. Поскольку в этой четверти $y \ge 0$, то должно выполняться условие $x - 1 \ge 0$, что означает $x \ge 1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и идущий вправо и вверх.

2. Вторая координатная четверть ($x < 0$, $y \ge 0$):
Уравнение принимает вид $-x - y = 1$, или $y = -x - 1$. Поскольку $y \ge 0$, то $-x - 1 \ge 0$, что означает $-x \ge 1$ или $x \le -1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(-1, 0)$ и идущий влево и вверх.

3. Третья координатная четверть ($x < 0$, $y < 0$):
Уравнение принимает вид $-x - (-y) = 1$, то есть $-x + y = 1$, или $y = x + 1$. Поскольку $y < 0$, то $x + 1 < 0$, что означает $x < -1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(-1, 0)$ и идущий влево и вниз.

4. Четвертая координатная четверть ($x \ge 0$, $y < 0$):
Уравнение принимает вид $x - (-y) = 1$, то есть $x + y = 1$, или $y = 1 - x$. Поскольку $y < 0$, то $1 - x < 0$, что означает $x > 1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и идущий вправо и вниз.

Итоговый график состоит из четырех лучей. Две пары лучей выходят из точек $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.
Из точки $(1, 0)$ выходят лучи, заданные уравнениями $y = x - 1$ и $y = 1 - x$ для $x \ge 1$.
Из точки $(-1, 0)$ выходят лучи, заданные уравнениями $y = x + 1$ и $y = -x - 1$ для $x \le -1$.

Ответ: Графиком является объединение двух пар лучей. Первая пара выходит из точки $(1, 0)$ и задается уравнениями $y = x - 1$ и $y = 1 - x$ при $x \ge 1$. Вторая пара выходит из точки $(-1, 0)$ и задается уравнениями $y = -x - 1$ и $y = x + 1$ при $x \le -1$.