Страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

628 Определите, параллельны или пересекаются прямые:

а) $x - 2y = 14$ и $x + 2y = 3;$

б) $6x + 2y = 3$ и $3x + y = 1.$

а) $x - 2y = 14$ и $x + 2y = 3$

Чтобы определить, параллельны или пересекаются прямые, нужно сравнить их угловые коэффициенты. Для этого приведем уравнения к виду $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент. Если угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются. Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а сдвиги по оси Y различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны.

Преобразуем уравнение первой прямой $x - 2y = 14$:
$-2y = -x + 14$
$y = \frac{-1}{-2}x + \frac{14}{-2}$
$y = \frac{1}{2}x - 7$
Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = \frac{1}{2}$.

Преобразуем уравнение второй прямой $x + 2y = 3$:
$2y = -x + 3$
$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$
Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = -\frac{1}{2}$.

Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 = \frac{1}{2}$ и $k_2 = -\frac{1}{2}$. Так как $k_1 \neq k_2$, прямые пересекаются.

Ответ: прямые пересекаются.

б) $6x + 2y = 3$ и $3x + y = 1$

Аналогично приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$ и сравним их параметры.

Преобразуем уравнение первой прямой $6x + 2y = 3$:
$2y = -6x + 3$
$y = \frac{-6}{2}x + \frac{3}{2}$
$y = -3x + \frac{3}{2}$
Угловой коэффициент $k_1 = -3$, сдвиг по оси Y $b_1 = \frac{3}{2}$.

Преобразуем уравнение второй прямой $3x + y = 1$:
$y = -3x + 1$
Угловой коэффициент $k_2 = -3$, сдвиг по оси Y $b_2 = 1$.

Сравниваем параметры: угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = -3$), а сдвиги по оси Y различны ($b_1 = \frac{3}{2} \neq b_2 = 1$). Следовательно, прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

629 Запишите уравнение прямой, пересекающей ось $y$ в точке $(0; 5)$ и параллельной прямой:

а) $y = 2x - 1;$

б) $y = -7x + 4;$

в) $2x - 3y = 0.$

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, которое имеет вид $y = kx + b$. В этом уравнении $k$ — это угловой коэффициент, отвечающий за наклон прямой, а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Из условия задачи мы знаем два факта:

1. Искомая прямая пересекает ось $y$ в точке (0; 5). Это означает, что свободный член в уравнении нашей прямой $b = 5$.
2. Искомая прямая параллельна другой, заданной прямой. Условие параллельности двух прямых заключается в том, что их угловые коэффициенты равны.

Таким образом, для каждого пункта нам нужно определить угловой коэффициент $k$ заданной прямой и подставить его вместе со значением $b=5$ в уравнение $y = kx + b$.

а)
Задана прямая уравнением $y = 2x - 1$.
Это уравнение уже находится в форме $y = kx + b$. Сравнивая, мы видим, что угловой коэффициент этой прямой $k = 2$.
Так как искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также будет равен 2.
Теперь у нас есть все необходимое: $k = 2$ и $b = 5$. Подставляем эти значения в уравнение прямой:
$y = 2x + 5$.
Ответ: $y = 2x + 5$

б)
Задана прямая уравнением $y = -7x + 4$.
Аналогично предыдущему пункту, из уравнения находим угловой коэффициент $k = -7$.
Угловой коэффициент параллельной прямой также равен -7.
Подставляем известные значения $k = -7$ и $b = 5$ в уравнение:
$y = -7x + 5$.
Ответ: $y = -7x + 5$

в)
Задана прямая уравнением $2x - 3y = 0$.
Это уравнение представлено в общем виде. Чтобы найти угловой коэффициент, нам нужно выразить $y$ через $x$, то есть привести уравнение к виду $y = kx + b$.
$2x - 3y = 0$
Перенесем член с $x$ в правую часть:
$-3y = -2x$
Разделим обе части уравнения на -3:
$y = \frac{-2}{-3}x$
$y = \frac{2}{3}x$
Теперь уравнение имеет вид $y = kx + b$, где $k = \frac{2}{3}$ и $b=0$.
Угловой коэффициент искомой прямой также равен $\frac{2}{3}$.
Подставляем значения $k = \frac{2}{3}$ и $b = 5$ в уравнение:
$y = \frac{2}{3}x + 5$.
Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 5$

630 Запишите уравнение прямой, параллельной прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$

и проходящей через точку:

a) (0; -2);

б) (0; 100);

в) (0; 0).

Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения прямой с осью $OY$).

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Уравнение данной прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$. Её угловой коэффициент $k = -\frac{3}{4}$.

Следовательно, любая прямая, параллельная данной, будет иметь уравнение вида $y = -\frac{3}{4}x + b$. Для нахождения коэффициента $b$ нужно подставить в это уравнение координаты точки, через которую проходит искомая прямая.

а)

Искомая прямая проходит через точку с координатами $(0; -2)$. Подставим значения $x=0$ и $y=-2$ в уравнение прямой $y = -\frac{3}{4}x + b$:

$-2 = -\frac{3}{4} \cdot 0 + b$

$-2 = 0 + b$

$b = -2$

Следовательно, искомое уравнение прямой: $y = -\frac{3}{4}x - 2$.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x - 2$.

б)

Искомая прямая проходит через точку с координатами $(0; 100)$. Подставим значения $x=0$ и $y=100$ в уравнение прямой $y = -\frac{3}{4}x + b$:

$100 = -\frac{3}{4} \cdot 0 + b$

$100 = 0 + b$

$b = 100$

Следовательно, искомое уравнение прямой: $y = -\frac{3}{4}x + 100$.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x + 100$.

в)

Искомая прямая проходит через точку с координатами $(0; 0)$. Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в уравнение прямой $y = -\frac{3}{4}x + b$:

$0 = -\frac{3}{4} \cdot 0 + b$

$0 = 0 + b$

$b = 0$

Следовательно, искомое уравнение прямой: $y = -\frac{3}{4}x$.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x$.

631 На рисунке 4.27, а–в изображена прямая, заданная уравнением вида $y = kx + l$. Определите знаки коэффициентов $k$ и $l$.

а) б) в) Рис. 4.27

Для определения знаков коэффициентов в уравнении прямой вида $y = kx + l$ необходимо проанализировать ее график. Коэффициент $k$, называемый угловым коэффициентом, отвечает за наклон прямой. Коэффициент $l$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси $y$ и равен ординате точки пересечения прямой с этой осью.

• Знак коэффициента $k$: Если прямая наклонена вправо и вверх (функция возрастает), то угол наклона к положительному направлению оси $x$ острый, и $k > 0$. Если прямая наклонена вправо и вниз (функция убывает), то угол наклона тупой, и $k < 0$.
• Знак коэффициента $l$: Коэффициент $l$ — это значение $y$ при $x=0$. Геометрически это ордината точки, в которой прямая пересекает ось $y$. Если точка пересечения находится выше начала координат, то $l > 0$. Если ниже — $l < 0$. Если прямая проходит через начало координат, то $l = 0$.

а) На графике прямая убывает (при движении слева направо она идет вниз). Это означает, что ее угловой коэффициент $k$ отрицателен. Прямая пересекает ось $y$ в точке с положительной ординатой (выше начала координат), следовательно, свободный член $l$ положителен.
Ответ: $k < 0$, $l > 0$.

б) На данном графике прямая возрастает (идет вверх при движении слева направо). Это означает, что ее угловой коэффициент $k$ положителен. Прямая проходит точно через начало координат $(0, 0)$. Это означает, что при $x=0$ значение $y$ также равно 0, следовательно, $l = 0$.
Ответ: $k > 0$, $l = 0$.

в) На этом графике прямая также является убывающей, как и в случае а), поэтому ее угловой коэффициент $k$ отрицателен. Точка пересечения прямой с осью $y$ находится ниже начала координат, то есть имеет отрицательную ординату. Следовательно, коэффициент $l$ отрицателен.
Ответ: $k < 0$, $l < 0$.