Номер 604, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 604, страница 179.

Условие.

604 Линия, изображённая на рисунке 4.12, является эллипсом. Уравнение эллипса можно записать в виде $x^2/a + y^2/b = 1$, где $a$ и $b$ — положительные числа и $a \geq b$.

1) Найдите координаты точек пересечения с осями координат эллипса, заданного уравнением $x^2/25 + y^2/16 = 1$.

Рис. 4.12

2) Определите ординаты точек эллипса $x^2/25 + y^2/16 = 1$, абсциссы которых равны 1.

3) Постройте эллипс, заданный уравнением $x^2/25 + y^2/16 = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Чтобы найти координаты точек пересечения эллипса с осями координат, нужно поочередно приравнять к нулю координаты $x$ и $y$ в уравнении эллипса $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox). В этом случае координата $y=0$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{x^2}{25} + \frac{0^2}{16} = 1$
$\frac{x^2}{25} = 1$
$x^2 = 25$
$x = \pm 5$
Таким образом, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.

Пересечение с осью ординат (осью Oy). В этом случае координата $x=0$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{0^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$\frac{y^2}{16} = 1$
$y^2 = 16$
$y = \pm 4$
Таким образом, точки пересечения с осью Oy имеют координаты $(0, -4)$ и $(0, 4)$.

Ответ: $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$, $(0, 4)$.

2)

Чтобы определить ординаты (координаты $y$) точек эллипса, у которых абсциссы (координаты $x$) равны 1, подставим значение $x=1$ в уравнение эллипса:
$\frac{1^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$\frac{1}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
Выразим член с $y^2$:
$\frac{y^2}{16} = 1 - \frac{1}{25}$
$\frac{y^2}{16} = \frac{25}{25} - \frac{1}{25}$
$\frac{y^2}{16} = \frac{24}{25}$
Теперь найдем $y^2$:
$y^2 = 16 \cdot \frac{24}{25} = \frac{384}{25}$
Извлечем квадратный корень, чтобы найти $y$:
$y = \pm \sqrt{\frac{384}{25}} = \pm \frac{\sqrt{384}}{5}$
Упростим корень из 384: $\sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$.
Следовательно, $y = \pm \frac{8\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $y_1 = \frac{8\sqrt{6}}{5}$, $y_2 = -\frac{8\sqrt{6}}{5}$.

3)

Для построения эллипса, заданного уравнением $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить полуоси эллипса. Из уравнения следует, что $a^2 = 25$ и $b^2 = 16$. Значит, большая полуось (вдоль оси Ox) $a = \sqrt{25} = 5$, а малая полуось (вдоль оси Oy) $b = \sqrt{16} = 4$.
2. Центр эллипса находится в начале координат $(0, 0)$.
3. Отметить на координатных осях вершины эллипса. Это точки пересечения, найденные в пункте 1: $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$ и $(0, 4)$.
4. Соединить эти четыре вершины плавной овальной линией, симметричной относительно обеих осей координат.

График эллипса выглядит следующим образом:

Ответ: Построение выполнено на основе вершин эллипса $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$, $(0, 4)$ с центром в начале координат. График представлен на изображении выше.