Номер 598, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 598, страница 179.

Условие.

598 Постройте в одной и той же системе координат следующие прямые: $3x + 2y - 18 = 0$, $x + 2y - 13 = 0$, $3x - 15 = 0$ и $2y - 12 = 0$.

Определите координаты точек пересечения:

a) прямых $3x + 2y - 18 = 0$ и $2y - 12 = 0$;

б) прямых $x + 2y - 13 = 0$ и $3x - 15 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения графиков прямых в одной системе координат, приведем их уравнения к более удобному виду и найдем по две точки для каждой прямой (кроме тех, что параллельны осям координат).

1. Прямая $3x + 2y - 18 = 0$
Выразим y через x: $2y = -3x + 18 \Rightarrow y = -1.5x + 9$.
Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 9$. Точка (0, 9).
• Если $x = 6$, то $y = -1.5 \cdot 6 + 9 = -9 + 9 = 0$. Точка (6, 0).

2. Прямая $x + 2y - 13 = 0$
Выразим y через x: $2y = -x + 13 \Rightarrow y = -0.5x + 6.5$.
Найдем две точки:

• Если $x = 1$, то $y = -0.5 \cdot 1 + 6.5 = 6$. Точка (1, 6).
• Если $x = 5$, то $y = -0.5 \cdot 5 + 6.5 = -2.5 + 6.5 = 4$. Точка (5, 4).

3. Прямая $3x - 15 = 0$
$3x = 15 \Rightarrow x = 5$.
Это вертикальная прямая, проходящая через точку (5, 0) параллельно оси Oy.

4. Прямая $2y - 12 = 0$
$2y = 12 \Rightarrow y = 6$.
Это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 6) параллельно оси Ox.

Построив эти прямые в одной системе координат, мы можем найти точки их пересечения. Для точности найдем координаты точек пересечения аналитически, решив соответствующие системы уравнений.

а) прямых $3x + 2y - 18 = 0$ и $2y - 12 = 0$;

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 2y - 18 = 0 \\ 2y - 12 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения находим y: $$ 2y = 12 $$ $$ y = 6 $$ Подставим значение $y = 6$ в первое уравнение: $$ 3x + 2(6) - 18 = 0 $$ $$ 3x + 12 - 18 = 0 $$ $$ 3x - 6 = 0 $$ $$ 3x = 6 $$ $$ x = 2 $$ Координаты точки пересечения (2, 6).
Ответ: (2, 6).

б) прямых $x + 2y - 13 = 0$ и $3x - 15 = 0$.

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y - 13 = 0 \\ 3x - 15 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения находим x: $$ 3x = 15 $$ $$ x = 5 $$ Подставим значение $x = 5$ в первое уравнение: $$ 5 + 2y - 13 = 0 $$ $$ 2y - 8 = 0 $$ $$ 2y = 8 $$ $$ y = 4 $$ Координаты точки пересечения (5, 4).
Ответ: (5, 4).