Номер 595, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 595, страница 178.

Условие.

595 Постройте прямые в одной системе координат и определите координаты точки их пересечения. Проверьте результат подстановкой найденной пары чисел в уравнения:

а) $4x - 3y = 12$ и $2x + 2y = 1$;

б) $2x + y = 4$ и $7x - 2y = 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $4x - 3y = 12$ и $2x + 2y = 1$

Сначала построим графики данных линейных уравнений. Для этого найдем по две точки для каждой прямой.

Для прямой $4x - 3y = 12$ (или $y = \frac{4}{3}x - 4$):

• Если $x=0$, то $y=-4$. Точка $(0, -4)$.
• Если $x=3$, то $y=0$. Точка $(3, 0)$.

Для прямой $2x + 2y = 1$ (или $y = -x + 0.5$):

• Если $x=0$, то $y=0.5$. Точка $(0, 0.5)$.
• Если $x=2$, то $y=-1.5$. Точка $(2, -1.5)$.

Построив графики в одной системе координат, можно найти их точку пересечения. Из-за дробных координат определить их точно по графику сложно. Чтобы найти точные координаты, решим систему уравнений:

$\begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ 2x + 2y = 1 \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали одинаковыми. Получим $4x + 4y = 2$. Теперь вычтем первое уравнение из нового второго:

$(4x + 4y) - (4x - 3y) = 2 - 12$

$7y = -10$

$y = -\frac{10}{7}$

Подставим найденное значение $y$ в уравнение $2x + 2y = 1$:

$2x + 2(-\frac{10}{7}) = 1$

$2x - \frac{20}{7} = 1$

$2x = 1 + \frac{20}{7}$

$2x = \frac{27}{7}$

$x = \frac{27}{14}$

Таким образом, точные координаты точки пересечения: $(\frac{27}{14}, -\frac{10}{7})$.

Теперь проверим результат, подставив найденную пару чисел в оба исходных уравнения.

Проверка для $4x - 3y = 12$:

$4(\frac{27}{14}) - 3(-\frac{10}{7}) = \frac{2 \cdot 27}{7} + \frac{30}{7} = \frac{54 + 30}{7} = \frac{84}{7} = 12$.
$12 = 12$. Равенство верное.

Проверка для $2x + 2y = 1$:

$2(\frac{27}{14}) + 2(-\frac{10}{7}) = \frac{27}{7} - \frac{20}{7} = \frac{7}{7} = 1$.
$1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $(\frac{27}{14}, -\frac{10}{7})$.

б) $2x + y = 4$ и $7x - 2y = 3$

Сначала построим графики данных линейных уравнений. Для этого найдем по две точки для каждой прямой.

Для прямой $2x + y = 4$ (или $y = -2x + 4$):

• Если $x=0$, то $y=4$. Точка $(0, 4)$.
• Если $x=2$, то $y=0$. Точка $(2, 0)$.

Для прямой $7x - 2y = 3$ (или $y = \frac{7}{2}x - 1.5$):

• Если $x=1$, то $y = \frac{7}{2}(1) - 1.5 = 3.5 - 1.5 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• Если $x=-1$, то $y = \frac{7}{2}(-1) - 1.5 = -3.5 - 1.5 = -5$. Точка $(-1, -5)$.

Построив графики в одной системе координат по этим точкам, определяем, что они пересекаются в точке с координатами $(1, 2)$.

Теперь проверим результат, подставив найденную пару чисел $x=1, y=2$ в оба уравнения:

Проверка для $2x + y = 4$:

$2(1) + 2 = 2 + 2 = 4$.
$4 = 4$. Равенство верное.

Проверка для $7x - 2y = 3$:

$7(1) - 2(2) = 7 - 4 = 3$.
$3 = 3$. Равенство верное.

Так как координаты $(1, 2)$ удовлетворяют обоим уравнениям, это и есть искомая точка пересечения.

Ответ: $(1, 2)$.