Номер 600, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 600, страница 179.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (600–603)

600 В одной системе координат постройте прямые $x - 2y = 6$ и $x - 2y = -1$. Объясните, почему эти прямые не имеют общей точки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Построение прямых

Для построения графиков прямых, заданных уравнениями $x - 2y = 6$ и $x - 2y = -1$, сначала приведем эти уравнения к стандартному виду прямой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью OY.

1. Прямая $x - 2y = 6$

Выразим переменную $y$ из уравнения:

$-2y = -x + 6$

Разделим обе части на -2:

$y = \frac{1}{2}x - 3$

Для построения прямой найдем координаты двух ее точек, например, точек пересечения с осями координат:

- При $x = 0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 3 = -3$. Получаем точку с координатами (0; -3).

- При $y = 0$, $0 = \frac{1}{2}x - 3$, откуда $\frac{1}{2}x = 3$ и $x = 6$. Получаем точку с координатами (6; 0).

Отметив на координатной плоскости точки (0; -3) и (6; 0) и проведя через них прямую, получим график уравнения $x - 2y = 6$.

2. Прямая $x - 2y = -1$

Аналогично выразим переменную $y$ из второго уравнения:

$-2y = -x - 1$

Разделим обе части на -2:

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Найдем две точки для построения этой прямой:

- При $x = 0$, $y = \frac{1}{2}(0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Получаем точку с координатами (0; 0,5).

- При $x = -1$, $y = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$. Получаем точку с координатами (-1; 0).

Отметив на той же координатной плоскости точки (0; 0,5) и (-1; 0) и проведя через них прямую, получим график уравнения $x - 2y = -1$.

Объяснение, почему эти прямые не имеют общей точки

Существует два основных способа это доказать.

Способ 1: Геометрический (анализ уравнений прямых)

Мы привели уравнения к виду $y = kx + b$:

- Уравнение первой прямой: $y = \frac{1}{2}x - 3$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$ и свободный член $b_1 = -3$.

- У