Номер 599, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 599, страница 179.

Условие.

599 Прямые $5x + 2y = 10$, $x = -2$, $y = -5$, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Вычислите его площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для вычисления площади треугольника, образованного тремя прямыми, сначала найдем координаты его вершин. Вершины — это точки попарного пересечения заданных прямых: $5x + 2y = 10$, $x = -2$ и $y = -5$.

Нахождение вершин треугольника

Вершина A (пересечение прямых $x = -2$ и $y = -5$)
Координаты этой точки сразу определяются уравнениями: $x = -2$, $y = -5$.
Следовательно, вершина A имеет координаты $(-2, -5)$.

Вершина B (пересечение прямых $5x + 2y = 10$ и $x = -2$)
Подставим $x = -2$ в первое уравнение:
$5(-2) + 2y = 10$
$-10 + 2y = 10$
$2y = 20$
$y = 10$
Следовательно, вершина B имеет координаты $(-2, 10)$.

Вершина C (пересечение прямых $5x + 2y = 10$ и $y = -5$)
Подставим $y = -5$ в первое уравнение:
$5x + 2(-5) = 10$
$5x - 10 = 10$
$5x = 20$
$x = 4$
Следовательно, вершина C имеет координаты $(4, -5)$.

Вычисление площади треугольника

Итак, мы имеем вершины треугольника: A(-2, -5), B(-2, 10) и C(4, -5).
Заметим, что прямая, проходящая через точки A и B, является вертикальной ($x = -2$), а прямая, проходящая через точки A и C, — горизонтальной ($y = -5$). Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине A.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Длина катета AB (вертикальный отрезок) вычисляется как модуль разности y-координат:
$|AB| = |y_B - y_A| = |10 - (-5)| = |15| = 15$.

Длина катета AC (горизонтальный отрезок) вычисляется как модуль разности x-координат:
$|AC| = |x_C - x_A| = |4 - (-2)| = |6| = 6$.

Теперь можем найти площадь $S$ треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = 45$.

Ответ: 45.