Номер 614, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.3. Уравнение прямой вида у = kх + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 614, страница 185.

Условие.

614 Прямые заданы уравнениями

$y=\frac{1}{2}x+1$, $y=\frac{1}{2}x-4$, $y=\frac{1}{2}x$.

1) Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?

2) Каково взаимное расположение этих прямых на плоскости?

3) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

4) Постройте эти прямые.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (он показывает тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox), а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.
Рассмотрим каждое из заданных уравнений:
1. Для прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$, коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Следовательно, угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.
2. Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$, коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Следовательно, угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$.
3. Для прямой $y = \frac{1}{2}x$, коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Следовательно, угловой коэффициент $k_3 = \frac{1}{2}$.

Ответ: Угловой коэффициент каждой из трех прямых равен $\frac{1}{2}$.

2) Каково взаимное расположение этих прямых на плоскости?

Взаимное расположение прямых на плоскости определяется их угловыми коэффициентами ($k$) и сдвигами по оси y ($b$).
Если угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2$), а сдвиги различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны.
Если угловые коэффициенты и сдвиги равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то прямые совпадают.
Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются.
В нашем случае у всех трех прямых угловые коэффициенты одинаковы: $k_1 = k_2 = k_3 = \frac{1}{2}$.
Однако их сдвиги по оси y различны: $b_1 = 1$, $b_2 = -4$, $b_3 = 0$.
Поскольку угловые коэффициенты равны, а сдвиги различны, все три прямые параллельны друг другу.

Ответ: Прямые параллельны друг другу.

3) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

Прямая пересекает ось y в точке, где координата $x$ равна нулю. Чтобы найти эту точку, нужно подставить $x=0$ в уравнение каждой прямой. Координата y этой точки также соответствует коэффициенту $b$ в уравнении $y = kx + b$.
1. Для прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$:
При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) + 1 = 1$. Точка пересечения с осью y: $(0, 1)$.
2. Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$:
При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 4 = -4$. Точка пересечения с осью y: $(0, -4)$.
3. Для прямой $y = \frac{1}{2}x$:
При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) = 0$. Точка пересечения с осью y: $(0, 0)$.

Ответ: Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ пересекает ось y в точке $(0, 1)$; прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$ – в точке $(0, -4)$; прямая $y = \frac{1}{2}x$ – в точке $(0, 0)$.

4) Постройте эти прямые.

Для построения каждой прямой на координатной плоскости достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Одну точку для каждой прямой мы уже нашли — это точка пересечения с осью Oy. Найдем вторую точку для каждой прямой, взяв, например, $x=2$.

Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$:
Точка 1: $(0, 1)$.
При $x=2$, $y = \frac{1}{2}(2) + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка 2: $(2, 2)$.
Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(2, 2)$.

Прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
При $x=2$, $y = \frac{1}{2}(2) - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка 2: $(2, -3)$.
Проводим прямую через точки $(0, -4)$ и $(2, -3)$.

Прямая $y = \frac{1}{2}x$:
Точка 1: $(0, 0)$ (начало координат).
При $x=2$, $y = \frac{1}{2}(2) = 1$. Точка 2: $(2, 1)$.
Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

В результате на графике мы увидим три параллельные прямые, проходящие через вычисленные точки. Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ будет расположена выше всех, прямая $y = \frac{1}{2}x$ пройдет через начало координат, а прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$ — ниже всех.

Ответ: Для построения прямых необходимо найти по две точки для каждой функции, нанести их на координатную плоскость и соединить.
Для $y = \frac{1}{2}x + 1$ точки: $(0, 1)$ и $(2, 2)$.
Для $y = \frac{1}{2}x - 4$ точки: $(0, -4)$ и $(2, -3)$.
Для $y = \frac{1}{2}x$ точки: $(0, 0)$ и $(2, 1)$.
Графиком будут три параллельные прямые.