Номер 661, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 661, страница 203.

Условие.

661 Решите систему уравнений:

a) $$\left\{ \begin{array}{l} x + z = 3 \\ y + z = 1 \\ x + y = 2 \end{array} \right.;$$

б) $$\left\{ \begin{array}{l} x - y = 3y \\ z - 2y = y \\ x - z = 5 \end{array} \right.;$$

в) $$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ x - y + z = 1 \\ x - y - z = 9 \end{array} \right.;$$

г) $$\left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 18 \\ x - y = 10 \\ y - z = 6 \end{array} \right..$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + z = 3 \\ y + z = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(x + z) + (y + z) + (x + y) = 3 + 1 + 2$

$2x + 2y + 2z = 6$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x + y + z = 3$

Теперь, чтобы найти каждую переменную, будем вычитать из полученного уравнения каждое из исходных уравнений системы по очереди.

Вычтем из уравнения $x + y + z = 3$ первое уравнение $x + z = 3$:

$(x + y + z) - (x + z) = 3 - 3$

$y = 0$

Вычтем из уравнения $x + y + z = 3$ второе уравнение $y + z = 1$:

$(x + y + z) - (y + z) = 3 - 1$

$x = 2$

Вычтем из уравнения $x + y + z = 3$ третье уравнение $x + y = 2$:

$(x + y + z) - (x + y) = 3 - 2$

$z = 1$

Проверим найденные значения: $2+1=3$ (верно), $0+1=1$ (верно), $2+0=2$ (верно).

Ответ: $x=2, y=0, z=1$.

б) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3y \\ z - 2y = y \\ x - z = 5 \end{cases} $

Сначала упростим первые два уравнения, выразив $x$ и $z$ через $y$.

Из первого уравнения: $x - y = 3y \implies x = 3y + y \implies x = 4y$.

Из второго уравнения: $z - 2y = y \implies z = y + 2y \implies z = 3y$.

Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $z$ в третье уравнение системы $x - z = 5$:

$(4y) - (3y) = 5$

$y = 5$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$ и $z$:

$x = 4y = 4 \cdot 5 = 20$

$z = 3y = 3 \cdot 5 = 15$

Проверим найденные значения: $20-5 = 15$ и $3 \cdot 5 = 15$ (верно), $15 - 2 \cdot 5 = 5$ и $y=5$ (верно), $20 - 15 = 5$ (верно).

Ответ: $x=20, y=5, z=15$.

в) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 3 \quad (1) \\ x - y + z = 1 \quad (2) \\ x - y - z = 9 \quad (3) \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения (вычитания) уравнений.

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$(x + y + z) - (x - y + z) = 3 - 1$

$2y = 2$

$y = 1$

Теперь вычтем уравнение (3) из уравнения (2):

$(x - y + z) - (x - y - z) = 1 - 9$

$2z = -8$

$z = -4$

Подставим найденные значения $y=1$ и $z=-4$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + 1 + (-4) = 3$

$x - 3 = 3$

$x = 6$

Проверим найденные значения в остальных уравнениях:

Уравнение (2): $6 - 1 + (-4) = 5 - 4 = 1$ (верно).

Уравнение (3): $6 - 1 - (-4) = 5 + 4 = 9$ (верно).

Ответ: $x=6, y=1, z=-4$.

г) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y - z = 18 \quad (1) \\ x - y = 10 \quad (2) \\ y - z = 6 \quad (3) \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из второго и третьего уравнений можно выразить $x$ и $z$ через $y$.

Из уравнения (2) выразим $x$:

$x = 10 + y$

Из уравнения (3) выразим $z$:

$y - z = 6 \implies z = y - 6$

Теперь подставим эти выражения для $x$ и $z$ в первое уравнение системы:

$(10 + y) + y - (y - 6) = 18$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$10 + y + y - y + 6 = 18$

$y + 16 = 18$

$y = 18 - 16$

$y = 2$

Теперь, зная $y$, найдем $x$ и $z$:

$x = 10 + y = 10 + 2 = 12$

$z = y - 6 = 2 - 6 = -4$

Проверим найденные значения: $12+2-(-4) = 18$ (верно), $12-2=10$ (верно), $2-(-4)=6$ (верно).

Ответ: $x=12, y=2, z=-4$.