Номер 657, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 657, страница 202.

Условие.

657 Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} \frac{y}{5} + \frac{x+y}{3} = -2 \\ \frac{2x-y}{3} = \frac{3x}{4} + \frac{3}{2} \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \frac{2x}{3} = \frac{x+y}{2} - \frac{5}{2} \\ 2x + \frac{3y}{2} = 0 \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = x - y \\ 2(x+y) - 2(x-y) - 3 = 2x + y \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 3(x-y) - 2(x+y) = 2x - 2y \\ \frac{x-y}{3} - \frac{x+y}{2} = \frac{x}{6} + 1 \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)
Исходная система:
$ \begin{cases} \frac{y}{5} + \frac{x+y}{3} = -2 \\ \frac{2x-y}{3} = \frac{3x}{4} + \frac{3}{2} \end{cases} $
Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.
Первое уравнение умножим на 15 (наименьшее общее кратное для 5 и 3):
$15 \cdot \frac{y}{5} + 15 \cdot \frac{x+y}{3} = 15 \cdot (-2)$
$3y + 5(x+y) = -30$
$3y + 5x + 5y = -30$
$5x + 8y = -30$
Второе уравнение умножим на 12 (наименьшее общее кратное для 3, 4 и 2):
$12 \cdot \frac{2x-y}{3} = 12 \cdot \frac{3x}{4} + 12 \cdot \frac{3}{2}$
$4(2x-y) = 3(3x) + 6(3)$
$8x - 4y = 9x + 18$
$8x - 9x - 4y = 18$
$-x - 4y = 18$
Получили новую систему:
$ \begin{cases} 5x + 8y = -30 \\ -x - 4y = 18 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$:
$-x = 18 + 4y \implies x = -18 - 4y$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$5(-18 - 4y) + 8y = -30$
$-90 - 20y + 8y = -30$
$-12y = -30 + 90$
$-12y = 60$
$y = -5$
Теперь найдем $x$:
$x = -18 - 4(-5) = -18 + 20 = 2$
Ответ: $(2; -5)$

б)
Исходная система:
$ \begin{cases} \frac{2x}{3} = \frac{x+y}{2} - \frac{5}{2} \\ 2x + \frac{3y}{2} = 0 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение умножим на 6:
$6 \cdot \frac{2x}{3} = 6 \cdot \frac{x+y}{2} - 6 \cdot \frac{5}{2}$
$2(2x) = 3(x+y) - 3(5)$
$4x = 3x + 3y - 15$
$4x - 3x - 3y = -15$
$x - 3y = -15$
Второе уравнение умножим на 2:
$2(2x) + 2 \cdot \frac{3y}{2} = 2 \cdot 0$
$4x + 3y = 0$
Получили систему:
$ \begin{cases} x - 3y = -15 \\ 4x + 3y = 0 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы исключить $y$:
$(x - 3y) + (4x + 3y) = -15 + 0$
$5x = -15$
$x = -3$
Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение:
$4(-3) + 3y = 0$
$-12 + 3y = 0$
$3y = 12$
$y = 4$
Ответ: $(-3; 4)$

в)
Исходная система:
$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = x - y \\ 2(x+y) - 2(x-y) - 3 = 2x + y \end{cases} $
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение умножим на 6:
$6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{y}{3} = 6(x - y)$
$3x - 2y = 6x - 6y$
$3x - 6x - 2y + 6y = 0$
$-3x + 4y = 0$
Упростим второе уравнение, раскрыв скобки:
$2x + 2y - 2x + 2y - 3 = 2x + y$
$4y - 3 = 2x + y$
$4y - y - 2x = 3$
$3y - 2x = 3$ или $-2x + 3y = 3$
Получили систему:
$ \begin{cases} -3x + 4y = 0 \\ -2x + 3y = 3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$:
$4y = 3x \implies y = \frac{3}{4}x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$-2x + 3(\frac{3}{4}x) = 3$
$-2x + \frac{9}{4}x = 3$
Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:
$-8x + 9x = 12$
$x = 12$
Теперь найдем $y$:
$y = \frac{3}{4}(12) = 3 \cdot 3 = 9$
Ответ: $(12; 9)$

г)
Исходная система:
$ \begin{cases} 3(x-y) - 2(x+y) = 2x - 2y \\ \frac{x-y}{3} - \frac{x+y}{2} = \frac{x}{6} + 1 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$3x - 3y - 2x - 2y = 2x - 2y$
$x - 5y = 2x - 2y$
$x - 2x - 5y + 2y = 0$
$-x - 3y = 0 \implies x = -3y$
Второе уравнение умножим на 6:
$6 \cdot \frac{x-y}{3} - 6 \cdot \frac{x+y}{2} = 6 \cdot \frac{x}{6} + 6 \cdot 1$
$2(x-y) - 3(x+y) = x + 6$
$2x - 2y - 3x - 3y = x + 6$
$-x - 5y = x + 6$
$-x - x - 5y = 6$
$-2x - 5y = 6$
Получили систему:
$ \begin{cases} x = -3y \\ -2x - 5y = 6 \end{cases} $
Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$-2(-3y) - 5y = 6$
$6y - 5y = 6$
$y = 6$
Теперь найдем $x$:
$x = -3(6) = -18$
Ответ: $(-18; 6)$