Номер 656, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 656, страница 202.

Условие.

656 Пересекаются ли парабола и прямая? Если да, укажите координаты точек пересечения:

а) $y = x^2$ и $x + y = 2;$

б) $y = x^2$ и $x - y = 1;$

в) $y + x^2 = 0$ и $y = -2x - 3;$

г) $y - x^2 = 0$ и $y = -x - 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) $y = x^2$ и $x + y = 2$

Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений. Для этого выразим $y$ из второго уравнения: $y = 2 - x$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение (уравнение параболы):

$x^2 = 2 - x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 = 0$

Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a=1$, $b=1$, $c=-2$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, а это значит, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Найдем эти корни:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя уравнение $y = 2 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 2 - 1 = 1$. Координаты первой точки пересечения: $(1, 1)$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = 2 - (-2) = 4$. Координаты второй точки пересечения: $(-2, 4)$.

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 1)$ и $(-2, 4)$.

б) $y = x^2$ и $x - y = 1$

Решим систему уравнений. Из второго уравнения выразим $y$: $y = x - 1$.

Подставим это выражение в уравнение параболы:

$x^2 = x - 1$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - x + 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-1$, $c=1$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола и прямая не имеют общих точек.

Ответ: Нет, не пересекаются.

в) $y + x^2 = 0$ и $y = -2x - 3$

Сначала приведем уравнение параболы к стандартному виду $y = f(x)$: $y = -x^2$.

Теперь решим систему уравнений, приравняв выражения для $y$:

$-x^2 = -2x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, существует две точки пересечения. Найдем их абсциссы:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = -x^2$:

При $x_1 = 3$, $y_1 = -(3^2) = -9$. Координаты первой точки: $(3, -9)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1)^2 = -1$. Координаты второй точки: $(-1, -1)$.

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(3, -9)$ и $(-1, -1)$.

г) $y - x^2 = 0$ и $y = -x - 5$

Приведем уравнение параболы к стандартному виду: $y = x^2$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти общие точки:

$x^2 = -x - 5$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x + 5 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=1$, $c=5$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$

Поскольку $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, а значит, парабола и прямая не пересекаются.

Ответ: Нет, не пересекаются.